早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2018年7月実施数理基礎 D

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祭音Myyura

実 $n$ 次正方行列 $A$ とベクトル $\boldsymbol a$ に対し、ある自然数 $m$ について $A^m\boldsymbol a\neq\boldsymbol0$ 、 $A^{m+1}\boldsymbol a=\boldsymbol0$ が成り立つとする。 $\boldsymbol a,A\boldsymbol a,\ldots,A^m\boldsymbol a$ が線形独立であることを示せ。
$z=a+bi$ に対して

$A(z)=\begin{pmatrix}-a&-b\\b&-a\end{pmatrix}$

とする。原題が求める積と逆行列の関係を検討せよ。
$A=\begin{pmatrix}0&2&1\\2&3&2\\1&2&0\end{pmatrix}$ 、 $\boldsymbol v_1=(1,0,-1)^{\mathsf T}/\sqrt2$ とする。 $\boldsymbol v_1$ が固有ベクトルであることを示し、これと互いに直交する残り2本の単位固有ベクトルを求めよ。

線形関係

c_0\boldsymbol a+c_1A\boldsymbol a+\cdots+c_mA^m\boldsymbol a=\boldsymbol0

を仮定する。0でない係数があるとして、その添字の最小値を $k$ とする。両辺に $A^{m-k}$ を作用させると、 $j>k$ の項は $A^{m+(j-k)}\boldsymbol a=\boldsymbol0$ となるため

c_kA^m\boldsymbol a=\boldsymbol0

だけが残る。しかし $c_k\neq0$ かつ $A^m\boldsymbol a\neq\boldsymbol0$ なので矛盾する。したがって全係数は0であり、これらのベクトルは線形独立である。

$z_j=a_j+b_ji$ として直接掛け算すれば

\boxed{A(z_1z_2)=-A(z_1)A(z_2)}

が成り立つ。また

\det A(z)=a^2+b^2

なので $z\neq0$ なら正則であり、

A(z)^{-1} =\frac1{a^2+b^2} \begin{pmatrix}-a&b\\-b&-a\end{pmatrix}.

一方、 $z^{-1}=(a-bi)/(a^2+b^2)$ を代入すると

\boxed{A(z^{-1})=A(z)^{-1}}

である。原題には $A(z^{-1})=-A(z)^{-1}$ と印刷されているが、これは $z=1$ とするだけで $-I=I$ を要求するため成立しない。したがって第2式の負号は誤植と判断できる。

計算すると

A\boldsymbol v_1=-\boldsymbol v_1

なので、 $\boldsymbol v_1$ は固有値 $-1$ の単位固有ベクトルである。残りは例えば

\boxed{ \boldsymbol v_2=\frac1{\sqrt3}(1,-1,1)^{\mathsf T},\qquad \boldsymbol v_3=\frac1{\sqrt6}(1,2,1)^{\mathsf T} }

と取れる。実際、

A\boldsymbol v_2=-\boldsymbol v_2,\qquad A\boldsymbol v_3=5\boldsymbol v_3

であり、3本はすべて長さ1で互いに直交する。