早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2018年7月実施 数理基礎 D

标签：

• Waseda-University
• Linear-Independence
• Complex-Numbers
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Orthogonal-Decomposition

Author

祭音Myyura

Description

1. 実 次正方行列 とベクトル に対し、ある自然数 について 、 が成り立つとする。 が線形独立であることを示せ。

2. に対して

   とする。原題が求める積と逆行列の関係を検討せよ。

3. 、 とする。 が固有ベクトルであることを示し、これと互いに直交する残り2本の単位固有ベクトルを求めよ。

Kai

[小問 1]

線形関係

を仮定する。0でない係数があるとして、その添字の最小値を とする。両辺に を作用させると、 の項は となるため

だけが残る。しかし かつ なので矛盾する。したがって全係数は0であり、これらのベクトルは線形独立である。

[小問 2]

として直接掛け算すれば

が成り立つ。また

なので なら正則であり、

一方、 を代入すると

である。原題には と印刷されているが、これは とするだけで を要求するため成立しない。したがって第2式の負号は誤植と判断できる。

[小問 3]

計算すると

なので、 は固有値 の単位固有ベクトルである。残りは例えば

と取れる。実際、

であり、3本はすべて長さ1で互いに直交する。