早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2018年7月実施数理基礎 C

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祭音Myyura

$M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ と可換な行列をすべて求めよ。原題には「 $a,b,c$ は実数で $a\neq c$ 」とある。
$A,B$ が正則行列なら、 $\begin{pmatrix}A&0\\C&B\end{pmatrix}$ も正則であり、
$\begin{pmatrix}A&0\\C&B\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}A^{-1}&0\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{pmatrix}$
であることを示せ。
$A=\begin{pmatrix}0&-2&0\\1&2&1\\1&3&0\end{pmatrix}$ の固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。

原題は行列に $d$ を用いる一方で実数条件から $d$ を落としており、さらに $a\neq c$ だけでは行列が非スカラーであることも保証しない。このため、以下では表示された一般行列を文字どおり扱う。

$X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とおくと、 $XM=MX$ は

\boxed{ cq=br,\qquad b(p-s)+(d-a)q=0,\qquad (a-d)r+c(s-p)=0 }

と同値である。したがって、この3式を満たす $p,q,r,s$ が求める行列の完全な表示である。

特に $M$ がスカラー行列でなければ、2次正方行列の中心化代数は2次元であり、解は

\boxed{X=\alpha I+\beta M\qquad(\alpha,\beta\in\mathbb R)}

となる。 $M=\lambda I$ なら任意の2次正方行列 $X$ が可換である。

右辺の候補を $N$ とおく。ブロック行列の積を計算すると

\begin{aligned} \begin{pmatrix}A&0\\C&B\end{pmatrix}N &=\begin{pmatrix} AA^{-1}&0\\ CA^{-1}-BB^{-1}CA^{-1}&BB^{-1} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}I&0\\0&I\end{pmatrix}. \end{aligned}

逆順の積も同様に単位行列になる。よって表示された $N$ は逆行列であり、元のブロック行列は正則である。

特性多項式は

\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+1)

である。したがって固有値と固有空間は

\boxed{ \begin{array}{c|c} \lambda & \text{対応する固有ベクトルの一例}\\ \hline 1&(-2,1,1)^{\mathsf T}\\ 2&(-1,1,1)^{\mathsf T}\\ -1&(-2,-1,5)^{\mathsf T} \end{array}}

である。各ベクトルの0でない定数倍も同じ固有値に対応する。