早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2018年7月実施 数理基礎 C

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Author

祭音Myyura

Description

1. と可換な行列をすべて求めよ。原題には「 は実数で 」とある。

2. が正則行列なら、 も正則であり、

   であることを示せ。

3. の固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。

Kai

[小問 1]

原題は行列に を用いる一方で実数条件から を落としており、さらに だけでは行列が非スカラーであることも保証しない。このため、以下では表示された一般行列を文字どおり扱う。

とおくと、 は

と同値である。したがって、この3式を満たす が求める行列の完全な表示である。

特に がスカラー行列でなければ、2次正方行列の中心化代数は2次元であり、解は

となる。 なら任意の2次正方行列 が可換である。

[小問 2]

右辺の候補を とおく。ブロック行列の積を計算すると

逆順の積も同様に単位行列になる。よって表示された は逆行列であり、元のブロック行列は正則である。

[小問 3]

特性多項式は

である。したがって固有値と固有空間は

である。各ベクトルの0でない定数倍も同じ固有値に対応する。