早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2018年7月実施 数理基礎 B

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Author

祭音Myyura

Description

1. $a>0$ とする。 $\displaystyle\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$ を求めよ。
2. $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{2+e^x}$ を求めよ。
3. $D_n=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq n^2\}$ とし、

$$S_n=\iint_{D_n}\frac{dx\,dy}{(x^2+y^2+3)^2}$$

を計算せよ。また $\lim_{n\to\infty}S_n$ を求めよ。

题目描述

完成下列三小题。

1. 设 $a>0$，计算

   $$\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}.$$

2. 计算定积分

   $$\int_0^1\frac{dx}{2+e^x}.$$

3. 令

   $$D_n=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq n^2\}, \qquad S_n=\iint_{D_n}\frac{dx\,dy}{(x^2+y^2+3)^2},$$

   计算 $S_n$，并求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$。

Kai

[小問 1]

$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa+C$$

なので

$$\boxed{ \int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin\frac12-\arcsin0=\frac\pi6 }.$$

[小問 2]

$u=e^x$ とおくと $dx=du/u$ であり、積分区間は $1\leq u\leq e$ となる。

$$\begin{aligned} \int_0^1\frac{dx}{2+e^x} &=\int_1^e\frac{du}{u(u+2)}\\ &=\frac12\left[\log u-\log(u+2)\right]_1^e\\ &=\boxed{\frac12\log\frac{3e}{e+2}}. \end{aligned}$$

[小問 3]

極座標 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ を用いると

$$\begin{aligned} S_n &=\int_0^{2\pi}\int_0^n\frac{r}{(r^2+3)^2}\,dr\,d\theta\\ &=2\pi\left[-\frac{1}{2(r^2+3)}\right]_0^n\\ &=\boxed{\pi\left(\frac13-\frac1{n^2+3}\right) =\frac{\pi n^2}{3(n^2+3)}}. \end{aligned}$$

よって

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}S_n=\frac\pi3}.$$