早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2018年7月実施 数理基礎 A

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• Waseda-University
• Differentiation
• Implicit-Differentiation
• Constrained-Optimization

Author

祭音Myyura

Description

1. に対して を微分せよ。

2. が

   を満たすとき、 を求めよ。

3. とする。 のもとで を最大にする を、ラグランジュの未定乗数法により求めよ。

Kai

[小問 1]

では なので、対数微分が使える。

を微分すると

したがって

[小問 2]

両辺を で微分すると

をまとめれば

となる。ただし分母が0でない点を考えている。

[小問 3]

最大点は内部にあるので、対数を取った目的関数

を最大化する。ラグランジュ関数を

とすれば、停留条件は

よって 、、 であり、制約条件から を得る。したがって

は正の単体内部で狭義凹関数であり、境界では積が0になるため、これは大域的最大点である。最大値は

である。