早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2018年7月実施数理基礎 A

标签：

Author

祭音Myyura

$0<x<\pi$ に対して $f(x)=(\sin x)^{\cos2x}$ を微分せよ。
$x,y$ が

$y^5-2xy^2+3x^2y+4=0$

を満たすとき、 $dy/dx$ を求めよ。
$a,b,c\geq1$ とする。 $x+y+z=1$ のもとで $x^ay^bz^c$ を最大にする $x,y,z$ を、ラグランジュの未定乗数法により求めよ。

$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ なので、対数微分が使える。

\log f(x)=\cos2x\log(\sin x)

を微分すると

\frac{f'(x)}{f(x)} =-2\sin2x\log(\sin x)+\cos2x\cot x.

したがって

\boxed{ f'(x)=(\sin x)^{\cos2x} \left\{\cos2x\cot x-2\sin2x\log(\sin x)\right\} }.

両辺を $x$ で微分すると

5y^4y'-2y^2-4xyy'+6xy+3x^2y'=0.

$y'$ をまとめれば

\boxed{ \frac{dy}{dx} =\frac{2y^2-6xy}{5y^4-4xy+3x^2} }

となる。ただし分母が0でない点を考えている。

最大点は内部にあるので、対数を取った目的関数

g=a\log x+b\log y+c\log z

を最大化する。ラグランジュ関数を

L=g-\lambda(x+y+z-1)

とすれば、停留条件は

\frac ax=\frac by=\frac cz=\lambda.

よって $x=a/\lambda$ 、 $y=b/\lambda$ 、 $z=c/\lambda$ であり、制約条件から $\lambda=a+b+c$ を得る。したがって

\boxed{ x=\frac{a}{a+b+c},\qquad y=\frac{b}{a+b+c},\qquad z=\frac{c}{a+b+c} }.

$g$ は正の単体内部で狭義凹関数であり、境界では積が0になるため、これは大域的最大点である。最大値は

\left(\frac a{a+b+c}\right)^a \left(\frac b{a+b+c}\right)^b \left(\frac c{a+b+c}\right)^c

である。