早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2018年7月実施 数理基礎 A

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• Waseda-University
• Differentiation
• Implicit-Differentiation
• Constrained-Optimization

Author

祭音Myyura

Description

1. $0<x<\pi$ に対して $f(x)=(\sin x)^{\cos2x}$ を微分せよ。
2. $x,y$ が

$$y^5-2xy^2+3x^2y+4=0$$

を満たすとき、 $dy/dx$ を求めよ。 3. $a,b,c\geq1$ とする。 $x+y+z=1$ のもとで $x^ay^bz^c$ を最大にする $x,y,z$ を、ラグランジュの未定乗数法により求めよ。

题目描述

完成下列三小题。

1. 对 $0<x<\pi$，求函数

   $$f(x)=(\sin x)^{\cos2x}$$

   的导数。

2. 若 $x,y$ 满足

   $$y^5-2xy^2+3x^2y+4=0,$$

   求 $\dfrac{dy}{dx}$。

3. 设 $a,b,c\geq1$。在约束

   $$x+y+z=1$$

   下，使用拉格朗日乘数法求使 $x^ay^bz^c$ 最大的 $x,y,z$。

Kai

[小問 1]

$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ なので、対数微分が使える。

$$\log f(x)=\cos2x\log(\sin x)$$

を微分すると

$$\frac{f'(x)}{f(x)} =-2\sin2x\log(\sin x)+\cos2x\cot x.$$

したがって

$$\boxed{ f'(x)=(\sin x)^{\cos2x} \left\{\cos2x\cot x-2\sin2x\log(\sin x)\right\} }.$$

[小問 2]

両辺を $x$ で微分すると

$$5y^4y'-2y^2-4xyy'+6xy+3x^2y'=0.$$

$y'$ をまとめれば

$$\boxed{ \frac{dy}{dx} =\frac{2y^2-6xy}{5y^4-4xy+3x^2} }$$

となる。ただし分母が0でない点を考えている。

[小問 3]

現存の題意には $x,y,z$ の範囲が記載されていない。以下は $x,y,z\geq0$ の単体上での解答である。この条件を外すと、例えば $a=b=c=1$、$x=y=-t$、$z=1+2t$ では積が $t^2(1+2t)\to\infty$ となり、最大値は存在しない。

最大点は内部にあるので、対数を取った目的関数

$$g=a\log x+b\log y+c\log z$$

を最大化する。ラグランジュ関数を

$$L=g-\lambda(x+y+z-1)$$

とすれば、停留条件は

$$\frac ax=\frac by=\frac cz=\lambda.$$

よって $x=a/\lambda$ 、 $y=b/\lambda$ 、 $z=c/\lambda$ であり、制約条件から $\lambda=a+b+c$ を得る。したがって

$$\boxed{ x=\frac{a}{a+b+c},\qquad y=\frac{b}{a+b+c},\qquad z=\frac{c}{a+b+c} }.$$

$g$ は正の単体内部で狭義凹関数であり、境界では積が0になるため、これは大域的最大点である。最大値は

$$\left(\frac a{a+b+c}\right)^a \left(\frac b{a+b+c}\right)^b \left(\frac c{a+b+c}\right)^c$$

である。