早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2018年7月実施計画数理学問題10

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祭音Myyura

AHP の一対比較行列を $A=(a_{ij})$ 、得られたウェイトを $w_1,w_2,w_3$ 、理想的一対比較行列を $D=(d_{ij})$ 、 $d_{ij}=w_i/w_j$ とする。
$\beta=\frac19\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\frac{a_{ij}}{d_{ij}}$
と定義する。
1. 一対比較が理想的なときの $\beta$ を求めよ。
2. $a_{11}=a_{22}=a_{33}=1$ 、 $a_{12}=3$ 、 $a_{13}=9$ とする。 $a_{23}\in\{1/3,1,3,5,7,9\}$ のどれで $\beta$ が最大になるか答えよ。ただし $\beta(a_{23}=1)>\beta(a_{23}=9)$ を用いてよい。
前日在庫を $W$ 、発注量を $z$ 、当日需要を連続確率変数 $D$ とする。 $D$ の分布関数を $F$ 、密度を $f$ 、単位品切れ費用を $s$ 、単位保管費用を $h$ とする。
1. 総品切れ費用を max 関数で表せ。
2. 総保管費用を max 関数で表せ。
3. 当日損失の期待値を積分で表せ。
4. $t=W+z$ とおき、最適解 $t^*$ が満たす $F(t^*)$ を求めよ。

一対比較が理想的なら

a_{ij}=d_{ij}=\frac{w_i}{w_j}

なので、9個の比はすべて1である。したがって

\boxed{\beta=1}.

完全整合条件は

a_{13}=a_{12}a_{23}

なので、整合する値は $9=3a_{23}$ 、すなわち $a_{23}=3$ である。このとき $\beta=1$ となり、循環的な不整合 $a_{12}a_{23}/a_{13}=a_{23}/3$ が1から離れるほど $\beta$ は大きくなる。

下側の候補では $1/3$ が1よりも整合値3から遠いため

\beta(1/3)>\beta(1).

上側では9が最大の候補であるが、問題文から $\beta(1)>\beta(9)$ が与えられている。したがって

\beta(1/3)>\beta(1)>\beta(9)

となり、他の候補 $3,5,7$ も最大にはならない。よって

\boxed{a_{23}=\frac13}

で $\beta$ が最大となる。

利用可能量は $W+z$ なので、不足量は $\max\{D-W-z,0\}$ である。したがって総品切れ費用は

\boxed{s\max\{D-W-z,0\}}.

空欄 ① は $D-W-z$ である。

売れ残り量は $\max\{W+z-D,0\}$ なので、総保管費用は

\boxed{h\max\{W+z-D,0\}}.

$t=W+z$ とおく。 $D\leq t$ では保管費用、 $D>t$ では品切れ費用が生じるため

\boxed{ L(t)=\int_0^t h(t-x)f(x)\,dx +\int_t^\infty s(x-t)f(x)\,dx }.

したがって空欄は

\boxed{\textcircled{2}=t=W+z,\qquad\textcircled{3}=h(t-x),\qquad\textcircled{4}=s(x-t)}.

Leibniz の公式で微分すると、積分端点の被積分関数は0なので

\begin{aligned} L'(t) &=h\int_0^tf(x)\,dx-s\int_t^\infty f(x)\,dx\\ &=hF(t)-s\{1-F(t)\}. \end{aligned}

最適点 $t^*$ で $L'(t^*)=0$ とおけば

(h+s)F(t^*)=s.

よって

\boxed{F(t^*)=\frac{s}{h+s}}.

空欄 ⑤ は $s/(h+s)$ である。