早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2018年7月実施 システム論 問題8

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祭音Myyura

Description

1. 代替案 $a,b,c$、外乱 $x,y,z$ に対する利得が

   $$\begin{array}{c|ccc} &x&y&z\\ \hline a&k_1&k_2&k_3\\ b&k_4&k_5&k_6\\ c&k_7&k_8&k_9 \end{array}$$

   である。確実下、確率が $(p,q,r)$ と既知のリスク下、ミニマックス基準を用いる不確実下の意思決定を説明せよ。

2. システムのフィードバックについて答えよ。

   1. 入出力システムにおけるフィードバックを定義せよ。
   2. 負のフィードバックと正のフィードバックを、学習と適応の観点から説明せよ。
   3. PDCA サイクルを負のフィードバックの観点から説明せよ。

题目描述

1. 备选方案为 $a,b,c$，外部扰动为 $x,y,z$，相应收益如下：

   $$\begin{array}{c|ccc} &x&y&z\\ \hline a&k_1&k_2&k_3\\ b&k_4&k_5&k_6\\ c&k_7&k_8&k_9 \end{array}$$

   分别说明以下三种情形中的决策方法：扰动结果已知的确定性决策；扰动发生概率 $(p,q,r)$ 已知的风险型决策；概率未知时采用极小极大（minimax）准则的不确定性决策。

2. 回答下列有关系统反馈的问题。

   1. 定义输入输出系统中的反馈。
   2. 从学习与适应的角度说明负反馈与正反馈。
   3. 从负反馈的角度说明 PDCA 循环。

Kai

[小問 1-1]

確実下では、どの外乱が生じるかが既知である。例えば外乱 $x$ が確実なら

$$\max\{k_1,k_4,k_7\}$$

を与える代替案を選ぶ。$y$ または $z$ の場合も対応する列の最大利得を選べばよい。

[小問 1-2]

リスク下では各外乱の確率が既知なので、代替案ごとの期待利得

$$\begin{aligned} E_a&=pk_1+qk_2+rk_3,\\ E_b&=pk_4+qk_5+rk_6,\\ E_c&=pk_7+qk_8+rk_9 \end{aligned}$$

を計算し、最も大きいものを選ぶ。ただし $p+q+r=1$ とする。

[小問 1-3]

利得を $K_{ij}$ と書く。最悪の場合の利得をできるだけ大きくする基準は

$$\boxed{\arg\max_{i\in\{a,b,c\}}\min_{j\in\{x,y,z\}}K_{ij}}$$

である。具体的には $\min\{k_1,k_2,k_3\}$、$\min\{k_4,k_5,k_6\}$、$\min\{k_7,k_8,k_9\}$ を比較し、最大のものを選ぶ。損失を $L_{ij}=-K_{ij}$ と定めれば、これは $\arg\min_i\max_jL_{ij}$ というミニマックス基準と同じである。

なお、各外乱での最良利得との差 $R_{ij}=\max_\ell K_{\ell j}-K_{ij}$ を作り、$\arg\min_i\max_jR_{ij}$ を選ぶのはミニマックス後悔基準であり、一般には上の基準と異なる。現存の題意では後悔や機会損失を指定していないため、ここでは両者を区別する。

[小問 2-1]

フィードバックとは、システムの出力または出力から得た情報を入力側へ戻し、目標値との差に応じて後続の入力・内部状態・動作を変える仕組みである。出力を一切参照しない開ループ系に対し、フィードバックを持つ系は閉ループ系となる。

[小問 2-2]

負のフィードバックは、目標と出力の偏差を打ち消す方向へ入力を修正する。環境変化があっても性能を目標へ戻すため、安定化、誤差修正、適応学習に適している。

正のフィードバックは、出力の変化を同じ方向へ増幅する。成功した行動の強化や急速な学習を生む場合がある一方、誤差も自己増幅し、発散・不安定化・環境への過剰適応を招くことがある。したがって制限や負のフィードバックとの併用が必要である。

[小問 2-3]

PDCA では Plan で目標と計画を定め、Do で実行し、Check で実績を測って目標との差を検出し、Act でその偏差を縮小する是正処置を行う。Act の結果を次の Plan へ戻す閉ループを反復するため、PDCA は実績と目標の偏差を継続的に減らす負のフィードバックとして解釈できる。