早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2018年7月実施統計科学問題7

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祭音Myyura

$V(X)=V(Y)=V(Z)=4$ 、 $C(X,Y)=0$ 、 $C(X,Z)=1$ 、 $C(Y,Z)=3$ とする。 $S=X+Y$ 、 $T=X-Y$ 、 $W=X+2Y-Z$ に対し、 $V(S),V(T),V(W),C(S,T)$ を求めよ。
独立な $X_i$ の密度が
$f(x;\theta)=\frac16\theta^4x^3e^{-\theta x},\qquad x>0$
であるとき、 $\theta$ の最尤推定量を求めよ。
病気 K の有病率は0.01、感度は0.95、非感染者の偽陽性率は0.20である。陽性者が実際に感染している確率を求めよ。
4因子 A、B、C、D を各2水準とし、 $L_8$ 直交配列表で実験した。交互作用は $A\times B$ と $A\times C$ のみ考える。A1 のデータ合計が14、A2 が10である。
1. A の平方和を求めよ。
2. A の自由度を求めよ。
3. 総自由度を求めよ。
4. $A\times C$ のみを誤差へプーリングした後の誤差自由度を求めよ。
重回帰分析における残差とテコ比を説明せよ。

分散・共分散の双線形性より

\begin{aligned} V(S)&=4+4+2(0)=\boxed8,\\ V(T)&=4+4-2(0)=\boxed8,\\ V(W)&=4+4(4)+4+2\{2(0)-1-2(3)\}=\boxed{10},\\ C(S,T)&=C(X+Y,X-Y)=V(X)-V(Y)=\boxed0. \end{aligned}

尤度と対数尤度は

L(\theta)=6^{-n}\theta^{4n}\left(\prod_i x_i^3\right) e^{-\theta\sum_i x_i},

\ell(\theta)=\text{const.}+4n\log\theta-\theta\sum_i x_i.

したがって

\ell'(\theta)=\frac{4n}{\theta}-\sum_i x_i=0

より

\boxed{\hat\theta_{\mathrm{ML}}=\frac{4n}{\sum_iX_i}=\frac4{\bar X}}.

第2微分は $-4n/\theta^2<0$ なので最大である。

ベイズの定理より

\begin{aligned} P(K\mid+) &=\frac{P(+\mid K)P(K)} {P(+\mid K)P(K)+P(+\mid K^c)P(K^c)}\\ &=\frac{0.95\cdot0.01}{0.95\cdot0.01+0.20\cdot0.99}\\ &=\boxed{\frac{19}{415}\approx0.0458}. \end{aligned}

全8回の実験の総和は $T=14+10=24$ であり、各水準は4回ずつ現れる。

SS_A=\frac{14^2}{4}+\frac{10^2}{4}-\frac{24^2}{8} =49+25-72=\boxed2.

2水準因子なので

\boxed{\operatorname{df}(A)=1}.

総自由度は

\boxed{8-1=7}.

A、B、C、D、 $A\times B$ 、 $A\times C$ が各1自由度を使うため、当初の誤差自由度は $7-6=1$ である。 $A\times C$ の1自由度を誤差へ加えると

\boxed{\operatorname{df}(E_{\mathrm{pooled}})=2}.

残差は観測値と当てはめ値の差

e_i=y_i-\hat y_i

であり、モデルが説明できなかった変動を表す。残差プロットは線形性、等分散性、外れ値などの診断に用いる。

テコ比はハット行列

H=X(X^{\mathsf T}X)^{-1}X^{\mathsf T}

の対角要素 $h_{ii}$ で、説明変数空間において観測 $i$ が中心からどれだけ離れているか、また $y_i$ が自分自身の当てはめ値へどれだけ影響するかを表す。高テコ比点は残差が大きいとは限らないが、残差も大きければ回帰結果への影響が強い可能性がある。