早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2017年7月実施数理基礎 E

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祭音Myyura

$x=(1,2,2,3)$ 、 $y=(1,1,2,2)$ の相関係数を求めよ。
$x\sim N(5,2^2)$ 、 $y\sim N(10,3^2)$ 、 $\operatorname{Cov}(x,y)=1$ とする。 $z=x+y$ の分散を求めよ。
母分散が $3^2$ の正規母集団から大きさ9の標本を得て、標本平均が12であった。母平均の95％信頼区間を求めよ。ただし標準正規分布の両側5％点には $1.96$ を用いよ。

$\bar x=2$ 、 $\bar y=3/2$ であり、偏差平方和と偏差積和は

\sum_i(x_i-\bar x)^2=2,\qquad \sum_i(y_i-\bar y)^2=1,\qquad \sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=1.

したがって相関係数は

r=\frac{1}{\sqrt{2\cdot1}} =\boxed{\frac1{\sqrt2}}.

\begin{aligned} \operatorname{Var}(z) &=\operatorname{Var}(x)+\operatorname{Var}(y) +2\operatorname{Cov}(x,y)\\ &=4+9+2=\boxed{15}. \end{aligned}

母標準偏差が既知なので、信頼区間は

\bar x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n} =12\pm1.96\frac3{3} =12\pm1.96.

よって95％信頼区間は

\boxed{[10.04,\ 13.96]}.