早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 数理基礎 D

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• Waseda-University
• Orthogonal-Decomposition
• Linear-Independence
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura

Description

1. 、 とする。
   1. が と直交することを示せ。
   2. 線形独立な3ベクトル を直交化する方法を説明せよ。
2. 実2次正方行列 の相異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立であることを示せ。

Kai

[小問 1-1]

なので

このベクトルと の内積は0であるから、両者は直交する。

[小問 1-2]

Gram--Schmidt の直交化法を用いる。まず

とし、順に

と定める。線形独立性から各 は0でなく、 は互いに直交する。必要なら として正規直交化する。

[小問 2]

固有値 に対応する固有ベクトルを とする。

と仮定し、左から を作用させると

元の式の 倍を引けば

かつ より 、したがって である。よって は線形独立である。