早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 数理基礎 C

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• 早稻田大学
• 特征值与特征向量
• 可交换矩阵

Author

祭音Myyura

Description

1. $\boldsymbol a=(1,0,0)^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol b=(0,1,1)^{\mathsf T}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求めよ。
2. $A=\begin{pmatrix}1&2\\4&-1\end{pmatrix}$ の相異なる固有値と、それぞれに対応する固有ベクトルを求めよ。
3. $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ と可換な任意の実2次正方行列は、互いに可換であることを示せ。

题目描述

完成下列三小题。

1. 以

   $$\boldsymbol a=(1,0,0)^{\mathsf T},\qquad \boldsymbol b=(0,1,1)^{\mathsf T}$$

   为两条邻边，求所张成平行四边形的面积。

2. 给定

   $$A=\begin{pmatrix}1&2\\4&-1\end{pmatrix},$$

   求 $A$ 的各个不同特征值及其相应的全部特征向量。

3. 令

   $$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$

   证明所有与 $J$ 可交换的实二阶方阵彼此两两可交换。

Kai

[小問 1]

$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$ なので2辺は直交し、 $\|\boldsymbol a\|=1$ 、 $\|\boldsymbol b\|=\sqrt2$ である。したがって面積は

$$\boxed{\|\boldsymbol a\|\|\boldsymbol b\|=\sqrt2}.$$

[小問 2]

特性方程式は

$$\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(-1-\lambda)-8 =\lambda^2-9=0.$$

よって

$$\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=-3.$$

$\lambda_1=3$ では $-2x+2y=0$ 、 $\lambda_2=-3$ では $4x+2y=0$ なので、対応する固有空間は

$$\boxed{ E_3=\operatorname{span}\left\{\binom11\right\},\qquad E_{-3}=\operatorname{span}\left\{\binom1{-2}\right\} }.$$

[小問 3]

$X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおく。 $XJ=JX$ を成分ごとに比較すると

$$b=-c,\qquad d=a$$

を得る。したがって、 $J$ と可換な行列は必ず

$$X=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=aI-bJ$$

と表せる。同様に $Y=cI-dJ$ とすれば、 $I$ と $J$ が可換であることから

$$XY=(aI-bJ)(cI-dJ)=(cI-dJ)(aI-bJ)=YX.$$

よって、 $J$ と可換な任意の実2次正方行列は互いに可換である。