早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 数理基礎 B

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Author

祭音Myyura

Description

1. $x^2+y^2=4$ のもとで $f(x,y)=x^3+y^3$ の最大値と最小値を求めよ。

2. $x>0$ に対して

   $$f(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt$$

   とおく。

   1. $f(x+1)=xf(x)$ を示せ。
   2. ガウス積分を用いて $f(1/2)$ を求めよ。

Kai

[小問 1]

ラグランジュ関数

$$L=x^3+y^3-\lambda(x^2+y^2-4)$$

を考える。停留条件は

$$x(3x-2\lambda)=0,\qquad y(3y-2\lambda)=0.$$

$x,y$ がともに0でない場合は $x=y=\pm\sqrt2$ であり、値は $\pm4\sqrt2$ である。一方、どちらかが0なら候補は $(\pm2,0),(0,\pm2)$ で、値は $\pm8$ となる。制約集合はコンパクトなので、全候補を比較して

$$\boxed{\max f=8},\qquad \boxed{\min f=-8}.$$

最大値は $(2,0),(0,2)$、最小値は $(-2,0),(0,-2)$ で達成される。

[小問 2-1]

部分積分により

$$\begin{aligned} f(x+1) &=\int_0^\infty e^{-t}t^x\,dt\\ &=\left[-e^{-t}t^x\right]_0^\infty +x\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt\\ &=\boxed{xf(x)}. \end{aligned}$$

$x>0$ なので境界項は0である。

[小問 2-2]

$t=u^2$ と置換すると

$$\begin{aligned} f\left(\frac12\right) &=\int_0^\infty e^{-t}t^{-1/2}\,dt =2\int_0^\infty e^{-u^2}\,du. \end{aligned}$$

ガウス積分 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\,du=\sqrt\pi$ より

$$\boxed{f(1/2)=\sqrt\pi}.$$