早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 数理基礎 A

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祭音Myyura

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次の問いに答えよ。

1. $0<x<\pi/2$ とする。$f(x)=\log(1/\tan x)$ を微分せよ。
2. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x+2+\sqrt{x^2+4}\right)$ を求めよ。
3. $\displaystyle\int_0^\pi e^{-x}\sin x\,dx$ を求めよ。

Kai

[小問 1]

$$f(x)=-\log(\tan x)$$

より、

$$\begin{aligned} f'(x) &=-\frac{\sec^2x}{\tan x} =-\frac{1}{\sin x\cos x} =\boxed{-\frac{2}{\sin2x}}. \end{aligned}$$

[小問 2]

$x\to-\infty$ では $\sqrt{x^2+4}-x>0$ なので、有理化すると

$$\begin{aligned} x+\sqrt{x^2+4} &=\frac{4}{\sqrt{x^2+4}-x} \longrightarrow0. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{\lim_{x\to-\infty}\left(x+2+\sqrt{x^2+4}\right)=2}.$$

[小問 3]

原始関数は

$$\int e^{-x}\sin x\,dx =-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)$$

である。よって

$$\begin{aligned} \int_0^\pi e^{-x}\sin x\,dx &=\left[-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_0^\pi\\ &=\boxed{\frac{1+e^{-\pi}}{2}}. \end{aligned}$$