早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 計画数理学 問題10

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• Pairwise-Comparison-Consistency

Author

祭音Myyura

Description

AHP により休暇先 A、B、C を、評価基準 P、Q、R から選ぶ。基準のウェイトは

$$(w_P,w_Q,w_R)=(0.5,0.3,0.2)$$

であり、各基準のもとでの代替案ウェイトは

$$\begin{array}{c|ccc} &A&B&C\\ \hline P&0.2&0.4&0.4\\ Q&0.3&0.2&0.5\\ R&0.5&0.3&0.2 \end{array}$$

である。

1. 最良の休暇先を求めよ。
2. $w_P/w_Q=0.6/0.3=2$ を保ちながら $w_R$ を変化させたとき、選択がどのように変わるか調べよ。
3. 理想的な一対比較行列について、列和の逆数を正規化する方法と行の幾何平均を正規化する方法が同じウェイトを与えることを説明せよ。

题目描述

使用层次分析法（AHP），根据评价准则 P、Q、R 在休假目的地 A、B、C 中作出选择。三个准则的权重为

$$(w_P,w_Q,w_R)=(0.5,0.3,0.2),$$

各准则下三个备选目的地的权重为

$$\begin{array}{c|ccc} &A&B&C\\ \hline P&0.2&0.4&0.4\\ Q&0.3&0.2&0.5\\ R&0.5&0.3&0.2 \end{array}.$$

1. 求出最佳休假目的地。
2. 保持 $w_P/w_Q=0.6/0.3=2$ 不变，同时改变 $w_R$，考察最终选择会如何变化。
3. 对理想的一致性两两比较矩阵，说明“将各列元素和的倒数归一化”与“将各行元素的几何平均归一化”两种方法会得到相同的权重。

Kai

[小問 1]

各代替案の総合ウェイトは

$$\begin{aligned} W_A&=0.5(0.2)+0.3(0.3)+0.2(0.5)=0.29,\\ W_B&=0.5(0.4)+0.3(0.2)+0.2(0.3)=0.32,\\ W_C&=0.5(0.4)+0.3(0.5)+0.2(0.2)=0.39. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{W_C>W_B>W_A}$$

より、最良の休暇先は $\boxed{C}$ である。

[小問 2]

この小問で明記された比 $w_P/w_Q=0.6/0.3=2$ は、小問1の $0.5/0.3$ とは一致しない。ここでは小問2の指定を優先する。

$r=w_R$ とおくと、正規化条件より

$$w_P=\frac23(1-r),\qquad w_Q=\frac13(1-r),\qquad 0\leq r\leq1.$$

各総合ウェイトは

$$\begin{aligned} W_A(r)&=\frac7{30}+\frac4{15}r,\\ W_B(r)&=\frac13-\frac1{30}r,\\ W_C(r)&=\frac{13}{30}-\frac7{30}r. \end{aligned}$$

$W_A=W_C$ となるのは $r=2/5$ であり、このとき $W_A=W_C=0.34>W_B=0.32$ である。各直線の大小関係を調べると

$$\boxed{ \begin{array}{ll} 0\leq w_R<0.4 &: C\text{ を選択},\\ w_R=0.4 &: A,C\text{ が同率},\\ 0.4<w_R\leq1 &: A\text{ を選択}. \end{array}}$$

B が最良となる範囲はない。

[小問 3]

真の絶対ウェイトを $w_X,w_Y,w_Z>0$、$w_X+w_Y+w_Z=1$ とする。理想的に整合した一対比較行列では

$$a_{ij}=\frac{w_i}{w_j}.$$

第 $j$ 列の和は

$$\sum_i a_{ij}=\frac{\sum_iw_i}{w_j}=\frac1{w_j}$$

なので、その逆数はちょうど $w_j$ である。

一方、第 $i$ 行の幾何平均は

$$\left(\prod_{j=X,Y,Z}\frac{w_i}{w_j}\right)^{1/3} =\frac{w_i}{(w_Xw_Yw_Z)^{1/3}}.$$

共通因子を除いて正規化すると $w_i$ を得る。したがって、行列が完全に整合している場合、両方法は同一の正規化ウェイトを与える。