早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2017年7月実施計画数理学問題10

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祭音Myyura

AHP により休暇先 A、B、C を、評価基準 P、Q、R から選ぶ。基準のウェイトは

(w_P,w_Q,w_R)=(0.5,0.3,0.2)

であり、各基準のもとでの代替案ウェイトは

\begin{array}{c|ccc} &A&B&C\\ \hline P&0.2&0.4&0.4\\ Q&0.3&0.2&0.5\\ R&0.5&0.3&0.2 \end{array}

である。

各代替案の総合ウェイトは

\begin{aligned} W_A&=0.5(0.2)+0.3(0.3)+0.2(0.5)=0.29,\\ W_B&=0.5(0.4)+0.3(0.2)+0.2(0.3)=0.32,\\ W_C&=0.5(0.4)+0.3(0.5)+0.2(0.2)=0.39. \end{aligned}

したがって

\boxed{W_C>W_B>W_A}

より、最良の休暇先は $\boxed{C}$ である。

この小問で明記された比 $w_P/w_Q=0.6/0.3=2$ は、小問1の $0.5/0.3$ とは一致しない。ここでは小問2の指定を優先する。

$r=w_R$ とおくと、正規化条件より

w_P=\frac23(1-r),\qquad w_Q=\frac13(1-r),\qquad 0\leq r\leq1.

各総合ウェイトは

\begin{aligned} W_A(r)&=\frac7{30}+\frac4{15}r,\\ W_B(r)&=\frac13-\frac1{30}r,\\ W_C(r)&=\frac{13}{30}-\frac7{30}r. \end{aligned}

$W_A=W_C$ となるのは $r=2/5$ であり、このとき $W_A=W_C=0.34>W_B=0.32$ である。各直線の大小関係を調べると

\boxed{ \begin{array}{ll} 0\leq w_R<0.4 &: C\text{ を選択},\\ w_R=0.4 &: A,C\text{ が同率},\\ 0.4<w_R\leq1 &: A\text{ を選択}. \end{array}}

B が最良となる範囲はない。

真の絶対ウェイトを $w_X,w_Y,w_Z>0$ 、 $w_X+w_Y+w_Z=1$ とする。理想的に整合した一対比較行列では

a_{ij}=\frac{w_i}{w_j}.

第 $j$ 列の和は

\sum_i a_{ij}=\frac{\sum_iw_i}{w_j}=\frac1{w_j}

なので、その逆数はちょうど $w_j$ である。

一方、第 $i$ 行の幾何平均は

\left(\prod_{j=X,Y,Z}\frac{w_i}{w_j}\right)^{1/3} =\frac{w_i}{(w_Xw_Yw_Z)^{1/3}}.

共通因子を除いて正規化すると $w_i$ を得る。したがって、行列が完全に整合している場合、両方法は同一の正規化ウェイトを与える。