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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 計画数理学 問題9

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祭音Myyura

Description​

ある商品の仕入価格は1個200円、販売価格は1個500円である。売れ残りの処分費用は0円、品切れによる機会損失は不足1個につき50円とする。発注量を zz、需要量を bb とし、いずれも自然数とする。

  1. b≤zb\leq z と b>zb>z の場合の利益をそれぞれ求めよ。
  2. 需要確率を f(b)f(b) として期待利益を表し、係数の空欄を埋めよ。
  3. b=1,…,20b=1,\ldots,20 が一様分布に従うとき、最適発注量を求める計算手順の空欄を埋めよ。

题目描述​

某商品的单位进货价为 200 日元，单位售价为 500 日元；滞销商品的处理费用为 0 日元，缺货造成的机会损失为每短缺 1 件 50 日元。记订货量为 zz、需求量为 bb，且二者均为自然数。

  1. 分别求 b≤zb\leq z 与 b>zb>z 时的利润。
  2. 以 f(b)f(b) 表示需求取值为 bb 的概率，写出期望利润，并填出题中各系数的空格。
  3. 当 b=1,…,20b=1,\ldots,20 服从均匀分布时，补全求最优订货量的计算步骤中的空格。

Kai​

[小問 1]​

b≤zb\leq z では bb 個を販売して zz 個分を仕入れるので

π(z,b)=500b−200z=300b−200(z−b).\pi(z,b)=500b-200z =\boxed{300b-200(z-b)}.

b>zb>z では zz 個を完売し、不足 b−zb-z 個に機会損失が生じるので

π(z,b)=500z−200z−50(b−z)=300b−350(b−z).\pi(z,b)=500z-200z-50(b-z) =\boxed{300b-350(b-z)}.

[小問 2]​

需要の最大値を nn とする。z>nz>n では追加発注分が必ず売れ残るので、最適化は 0≤z≤n0\leq z\leq n に制限してよい。この範囲で期待利益は

E[π(z,B)]=300∑b=1nbf(b)−200∑b=1z(z−b)f(b)−350∑b=z+1n(b−z)f(b).\boxed{ E[\pi(z,B)] =300\sum_{b=1}^{n}bf(b) -200\sum_{b=1}^{z}(z-b)f(b) -350\sum_{b=z+1}^{n}(b-z)f(b) }.

よって係数の空欄は順に

300, 200, 350\boxed{300,\ 200,\ 350}

である。

[小問 3]​

f(b)=1/20f(b)=1/20 かつ E[B]=10.5E[B]=10.5 なので

E[π(z,B)]=3150−g(z),E[\pi(z,B)]=3150-g(z),

ただし

g(z)=20020∑b=1z(z−b)+35020∑b=z+120(b−z).g(z)=\frac{200}{20}\sum_{b=1}^{z}(z-b) +\frac{350}{20}\sum_{b=z+1}^{20}(b-z).

期待利益の最大化は g(z)g(z) の最小化と同値である。隣接差は

g(z)−g(z−1)=200(z−1)−350(21−z)20,g(z+1)−g(z)=200z−350(20−z)20.\begin{aligned} g(z)-g(z-1) &=\frac{200(z-1)-350(21-z)}{20},\\ g(z+1)-g(z) &=\frac{200z-350(20-z)}{20}. \end{aligned}

最小点では前者が非正、後者が非負なので

z≤15111,z≥14011.z\leq\frac{151}{11},\qquad z\geq\frac{140}{11}.

zz は整数であるから

z∗=13.\boxed{z^*=13}.

確認すると E[π(12,B)]=1860E[\pi(12,B)]=1860 円、E[π(13,B)]=1880E[\pi(13,B)]=1880 円、E[π(14,B)]=1872.5E[\pi(14,B)]=1872.5 円であり、確かに z=13z=13 が最大である。

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