早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 計画数理学 問題9

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祭音Myyura

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ある商品の仕入価格は1個200円、販売価格は1個500円である。売れ残りの処分費用は0円、品切れによる機会損失は不足1個につき50円とする。発注量を $z$、需要量を $b$ とし、いずれも自然数とする。

1. $b\leq z$ と $b>z$ の場合の利益をそれぞれ求めよ。
2. 需要確率を $f(b)$ として期待利益を表し、係数の空欄を埋めよ。
3. $b=1,\ldots,20$ が一様分布に従うとき、最適発注量を求める計算手順の空欄を埋めよ。

Kai

[小問 1]

$b\leq z$ では $b$ 個を販売して $z$ 個分を仕入れるので

$$\pi(z,b)=500b-200z =\boxed{300b-200(z-b)}.$$

$b>z$ では $z$ 個を完売し、不足 $b-z$ 個に機会損失が生じるので

$$\pi(z,b)=500z-200z-50(b-z) =\boxed{300b-350(b-z)}.$$

[小問 2]

したがって期待利益は

$$\boxed{ E[\pi(z,B)] =300\sum_{b=1}^{n}bf(b) -200\sum_{b=1}^{z}(z-b)f(b) -350\sum_{b=z+1}^{n}(b-z)f(b) }.$$

よって係数の空欄は順に

$$\boxed{300,\ 200,\ 350}$$

である。

[小問 3]

$f(b)=1/20$ かつ $E[B]=10.5$ なので

$$E[\pi(z,B)]=3150-g(z),$$

ただし

$$g(z)=\frac{200}{20}\sum_{b=1}^{z}(z-b) +\frac{350}{20}\sum_{b=z+1}^{20}(b-z).$$

期待利益の最大化は $g(z)$ の最小化と同値である。隣接差は

$$\begin{aligned} g(z)-g(z-1) &=\frac{200(z-1)-350(21-z)}{20},\\ g(z+1)-g(z) &=\frac{200z-350(20-z)}{20}. \end{aligned}$$

最小点では前者が非正、後者が非負なので

$$z\leq\frac{151}{11},\qquad z\geq\frac{140}{11}.$$

$z$ は整数であるから

$$\boxed{z^*=13}.$$

確認すると $E[\pi(12,B)]=1860$ 円、$E[\pi(13,B)]=1880$ 円、$E[\pi(14,B)]=1872.5$ 円であり、確かに $z=13$ が最大である。