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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 オペレーションズリサーチ 問題8

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祭音Myyura

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頂点集合 V={1,2,3,4}V=\{1,2,3,4\}、枝集合

E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}E=\{(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)\}

を持つ有向グラフを考える。枝上の数字は費用である。

  1. 頂点1から頂点4への最短路問題を線形計画問題として定式化せよ。
  2. その双対問題を示せ。
  3. 最適解において相補性条件が成立することを示せ。

Kai​

[小問 1]​

枝 (i,j)(i,j) を通る流量を xij≥0x_{ij}\geq0 とし、頂点1から1単位を送り、頂点4で1単位を受け取る最小費用流として定式化する。

minimizex12+4x13+2x23+6x24+3x34subject tox12+x13=1,−x12+x23+x24=0,−x13−x23+x34=0,−x24−x34=−1,x12,x13,x23,x24,x34≥0.\begin{array}{ll} \text{minimize} &x_{12}+4x_{13}+2x_{23}+6x_{24}+3x_{34}\\ \text{subject to} &x_{12}+x_{13}=1,\\ &-x_{12}+x_{23}+x_{24}=0,\\ &-x_{13}-x_{23}+x_{34}=0,\\ &-x_{24}-x_{34}=-1,\\ &x_{12},x_{13},x_{23},x_{24},x_{34}\geq0. \end{array}

最後の保存式は他の3式から従うが、各頂点の意味を明示するため記している。

3本の候補経路の費用は

1→2→4:7,1→3→4:7,1→2→3→4:61\to2\to4:7,\qquad 1\to3\to4:7,\qquad 1\to2\to3\to4:6

なので、最適解は

x12=x23=x34=1,quadx13=x24=0,z∗=6.\boxed{x_{12}=x_{23}=x_{34}=1,quad x_{13}=x_{24}=0},\qquad \boxed{z^*=6}.

[小問 2]​

各頂点のフロー保存式に対応する自由変数を y1,y2,y3,y4y_1,y_2,y_3,y_4 とする。双対問題は

maximizey1−y4subject toy1−y2≤1,y1−y3≤4,y2−y3≤2,y2−y4≤6,y3−y4≤3,y1,y2,y3,y4 は自由.\begin{array}{ll} \text{maximize}&y_1-y_4\\ \text{subject to} &y_1-y_2\leq1,\\ &y_1-y_3\leq4,\\ &y_2-y_3\leq2,\\ &y_2-y_4\leq6,\\ &y_3-y_4\leq3,\\ &y_1,y_2,y_3,y_4\text{ は自由}. \end{array}

ポテンシャルには定数を加えても制約と目的値が変わらないため、y4=0y_4=0 と固定してよい。

[小問 3]​

双対解

(y1,y2,y3,y4)=(6,5,3,0)\boxed{(y_1,y_2,y_3,y_4)=(6,5,3,0)}

は実行可能で、目的値は 66 である。正のフローを持つ3枝では

y1−y2=1=c12,y2−y3=2=c23,y3−y4=3=c34y_1-y_2=1=c_{12},\qquad y_2-y_3=2=c_{23},\qquad y_3-y_4=3=c_{34}

と双対制約が等号になる。一方、フローが0の枝では

y1−y3=3<4=c13,y2−y4=5<6=c24.y_1-y_3=3<4=c_{13},\qquad y_2-y_4=5<6=c_{24}.

したがって全枝について

xij{cij−(yi−yj)}=0x_{ij}\{c_{ij}-(y_i-y_j)\}=0

が成立する。これは相補性条件であり、主・双対目的値もともに6なので両解は最適である。

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