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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2017年7月実施 情報数理応用 問題1

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祭音Myyura

Description​

独立同分布な2値確率変数 が

に従う。 の事前密度は

である。

  1. 事前分布の平均値と最頻値を求めよ。
  2. データ を観測した後の事後密度を求めよ。
  3. 事後密度の概形を、極値を明示して描け。
  4. 二乗誤差損失のもとで のベイズ推定量を求めよ。
  5. 0--1損失のもとで のベイズ最適予測を求めよ。

Kai​

[小問 1]​

事前分布は である。したがって

また なので最頻値は

[小問 2]​

観測列には1が7個、0が3個ある。ベータ分布とベルヌーイ分布の共役性より

よって事後密度は

である。

[小問 3]​

対数微分は

であり、内部の停留点は

端点では 、区間内部では正で、 まで増加し、その後減少する。したがって唯一の極大点は

である。

[小問 4]​

二乗誤差損失に対するベイズ推定量は事後平均なので

[小問 5]​

事後予測確率は

0--1損失では事後予測確率の大きい値を選ぶので

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