早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2016年7月実施数理基礎 E

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祭音Myyura

単回帰モデル

y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i

を仮定する。誤差は互いに独立に $N(0,\sigma^2)$ に従う。データ

$i$	1	2	3
$x_i$	-1	0	1
$y_i$	-2	-1	3

から $\beta_0,\beta_1$ を推定せよ。

部品Qの横の長さが $N(20,2^2)$ に従う。独立に $9$ 個選び、横につないで作るユニットの横の長さの分布を求めよ。

統計的仮説検定における第1種の誤りと第2種の誤りを説明せよ。

$\bar x=0,\ \bar y=0$ なので、最小二乗推定量は

\begin{aligned} \hat\beta_1 &=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sum_i(x_i-\bar x)^2}\\ &=\frac{(-1)(-2)+0(-1)+1(3)}{(-1)^2+0^2+1^2} =\frac52,\\ \hat\beta_0 &=\bar y-\hat\beta_1\bar x=0. \end{aligned}

したがって

\boxed{\hat\beta_0=0,\qquad \hat\beta_1=\frac52}.

各部品の長さを $X_i$ とすると、独立な正規確率変数の和も正規分布に従う。よって

\sum_{i=1}^9X_i \sim N\left(9\cdot20,\ 9\cdot2^2\right) =\boxed{N(180,6^2)}.