早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2016年7月実施数理基礎 D

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祭音Myyura

a=\begin{pmatrix}1\\x\\-1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}y\\3\\6\end{pmatrix}

が一次独立となる条件および直交する条件を求め、直交すれば一次独立であることを示せ。

可換な行列に対する二項定理を用いて

C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

の $m$ 乗を求めよ。

$a,b$ が一次従属であると仮定すると、 $b=\lambda a$ と書ける。第3成分から $\lambda=-6$ 、第2成分から $x=-1/2$ 、第1成分から $y=-6$ となる。よって一次独立の条件は

\boxed{(x,y)\neq\left(-\frac12,-6\right)}.

直交条件は

a^{\mathsf T}b=y+3x-6=0,

すなわち

\boxed{y+3x=6}.

$a,b$ はともに零ベクトルではない。零でない直交ベクトルが一次従属なら $b=\lambda a$ かつ

0=a^{\mathsf T}b=\lambda\lVert a\rVert^2

となるため $\lambda=0$ 、すなわち $b=0$ となって矛盾する。したがって直交すれば一次独立である。

C=E+N,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=0

と書ける。 $E$ と $N$ は可換なので、二項定理から

\begin{aligned} C^m &=(E+N)^m\\ &=E+mN\\ &=\boxed{\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}. \end{aligned}