早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2016年7月実施 数理基礎 C

标签：

• Waseda-University
• Matrix-Rank
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura

Description

[小問 C1]

次の行列のランクを求めよ。

$$\begin{pmatrix} 2&4&6&2\\ 2&1&x+3&-1\\ 3&x+1&4&-2 \end{pmatrix}$$

[小問 C2]

次の行列の固有値と固有ベクトルをすべて求めよ。

$$\begin{pmatrix} 6&1&1\\ 0&4&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$$

[小問 C3]

$E$ を単位行列とする。$E+A$ が正則となる行列 $A$ に対して

$$B=(E-A)(E+A)^{-1}$$

とおく。$E+B$ が正則であることを示し、

$$A=(E-B)(E+B)^{-1}$$

を示せ。

Kai

[小問 C1]

第1・第2・第4列からなる3次小行列式は $6x$、第1・第3・第4列からなるものは $-10x$ である。したがって $x\neq0$ ならランクは3である。

$x=0$ ではすべての3次小行列式が $0$ になる。一方、左上の2次小行列式は

$$\begin{vmatrix}2&4\\2&1\end{vmatrix}=-6\neq0$$

なのでランクは $2$ である。よって

$$\boxed{ \operatorname{rank}A= \begin{cases} 2&(x=0),\\ 3&(x\neq0). \end{cases}}$$

[小問 C2]

上三角行列なので固有値は対角成分

$$\boxed{\lambda=6,4,2}$$

である。それぞれの固有空間は

$$\begin{aligned} \lambda=6&:\quad \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\},\\ \lambda=4&:\quad \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\right\},\\ \lambda=2&:\quad \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\4\\-8\end{pmatrix}\right\}. \end{aligned}$$

[小問 C3]

定義から

$$\begin{aligned} E+B &=\{(E+A)+(E-A)\}(E+A)^{-1}\\ &=2(E+A)^{-1}. \end{aligned}$$

$E+A$ は正則なので、$E+B$ も正則であり

$$(E+B)^{-1}=\frac12(E+A)$$

となる。また

$$E-B=\{(E+A)-(E-A)\}(E+A)^{-1} =2A(E+A)^{-1}.$$

したがって

$$(E-B)(E+B)^{-1} =2A(E+A)^{-1}\frac12(E+A) =\boxed{A}.$$