早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2016年7月実施 数理基礎 B

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• 反常积分

Author

祭音Myyura

Description

[小問 B1]

$D=\{(x,y)\mid 1\leq x^2+y^2\leq4\}$ とするとき、

$$S=\iint_D(4-x^2-y^2)^{1/2}\,dxdy$$

を計算せよ。

[小問 B2]

$n$ を自然数とし、

$$I_n=\int_0^\infty(x^2+4)^{-n}\,dx$$

とする。

1. $I_1$ を求めよ。
2. $I_n$ と $I_{n+1}$ の関係を示し、 $I_3$ を求めよ。

题目描述

完成下列两小题。

1. 令

   $$D=\{(x,y)\mid1\leq x^2+y^2\leq4\}.$$

   计算

   $$S=\iint_D(4-x^2-y^2)^{1/2}\,dx\,dy.$$

2. 设 $n$ 为自然数，并定义反常积分

   $$I_n=\int_0^\infty(x^2+4)^{-n}\,dx.$$

   先求 $I_1$；再推导 $I_n$ 与 $I_{n+1}$ 的关系，并求 $I_3$。

Kai

[小問 B1]

極座標 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ を用いると、

$$\begin{aligned} S &=\int_0^{2\pi}\int_1^2 r\sqrt{4-r^2}\,drd\theta\\ &=2\pi\left[-\frac13(4-r^2)^{3/2}\right]_1^2\\ &=\boxed{2\pi\sqrt3}. \end{aligned}$$

[小問 B2]

$x=2\tan\theta$ とおくと

$$I_n=2^{1-2n}\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\,d\theta.$$

よって

$$\boxed{I_1=\frac\pi4}.$$

$J_m=\int_0^{\pi/2}\cos^m\theta\,d\theta$ とおけば、部分積分から

$$J_m=\frac{m-1}{m}J_{m-2}$$

である。したがって

$$\boxed{I_{n+1}=\frac{2n-1}{8n}I_n}.$$

これを2回用いると

$$I_2=\frac18I_1=\frac\pi{32},\qquad I_3=\frac3{16}I_2 =\boxed{\frac{3\pi}{512}}.$$