早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2016年7月実施数理基礎 B

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祭音Myyura

$D=\{(x,y)\mid 1\leq x^2+y^2\leq4\}$ とするとき、

S=\iint_D(4-x^2-y^2)^{1/2}\,dxdy

を計算せよ。

$n$ を自然数とし、

I_n=\int_0^\infty(x^2+4)^{-n}\,dx

とする。

極座標 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ を用いると、

\begin{aligned} S &=\int_0^{2\pi}\int_1^2 r\sqrt{4-r^2}\,drd\theta\\ &=2\pi\left[-\frac13(4-r^2)^{3/2}\right]_1^2\\ &=\boxed{2\pi\sqrt3}. \end{aligned}

$x=2\tan\theta$ とおくと

I_n=2^{1-2n}\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\,d\theta.

よって

\boxed{I_1=\frac\pi4}.

$J_m=\int_0^{\pi/2}\cos^m\theta\,d\theta$ とおけば、部分積分から

J_m=\frac{m-1}{m}J_{m-2}

である。したがって

\boxed{I_{n+1}=\frac{2n-1}{8n}I_n}.

これを2回用いると

I_2=\frac18I_1=\frac\pi{32},\qquad I_3=\frac3{16}I_2 =\boxed{\frac{3\pi}{512}}.