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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2016年7月実施 数理基礎 A

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Author​

祭音Myyura

Description​

[小問 A1]​

aa を正の定数とする。体積が aa となる3次元の直方体のうち、表面積が最小となるものの縦、横、高さを求めよ。

[小問 A2]​

f(x,y)=x2+y2, x=cos⁡2t, y=sin⁡3tf(x,y)=x^2+y^2,\ x=\cos 2t,\ y=\sin 3t のとき、 df/dtdf/dt を求めよ。

[小問 A3]​

f(x,y)=2x−yf(x,y)=\sqrt{2x-y} の

∂2f∂y∂x,∂2f∂x∂y,∂2f∂x2,∂2f∂y2\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

を求めよ。

题目描述​

完成下列三小题。

  1. 设 aa 为正常数。在所有体积为 aa 的三维长方体中，求表面积取得最小值时的长、宽和高。

  2. 已知

    f(x,y)=x2+y2,x=cos⁡2t,y=sin⁡3t,f(x,y)=x^2+y^2,\qquad x=\cos2t,\qquad y=\sin3t,

    求 dfdt\dfrac{df}{dt}。

  3. 对函数

    f(x,y)=2x−y,f(x,y)=\sqrt{2x-y},

    求

    ∂2f∂y∂x,∂2f∂x∂y,∂2f∂x2,∂2f∂y2.\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x},\qquad \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^2f}{\partial x^2},\qquad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}.

Kai​

[小問 A1]​

辺の長さを x,y,z>0x,y,z>0 とすると、 xyz=axyz=a 、表面積は

S=2(xy+yz+zx)S=2(xy+yz+zx)

である。相加相乗平均より

xy+yz+zx≥3(xy)(yz)(zx)3=3(xyz)2/3=3a2/3.xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{(xy)(yz)(zx)} =3(xyz)^{2/3} =3a^{2/3}.

等号条件は xy=yz=zxxy=yz=zx であり、正の数なので x=y=zx=y=z となる。したがって

x=y=z=a3,Smin⁡=6a2/3.\boxed{x=y=z=\sqrt[3]{a}},\qquad S_{\min}=6a^{2/3}.

[小問 A2]​

連鎖律より

dfdt=2xdxdt+2ydydt=−4cos⁡2tsin⁡2t+6sin⁡3tcos⁡3t=−2sin⁡4t+3sin⁡6t.\begin{aligned} \frac{df}{dt} &=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\\ &=-4\cos 2t\sin 2t+6\sin 3t\cos 3t\\ &=\boxed{-2\sin 4t+3\sin 6t}. \end{aligned}

[小問 A3]​

u=2x−y>0u=2x-y>0 とおく。まず

fx=u−1/2,fy=−12u−1/2f_x=u^{-1/2},\qquad f_y=-\frac12u^{-1/2}

であるから、

∂2f∂y∂x=∂2f∂x∂y=12(2x−y)3/2\boxed{ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} =\frac{1}{2(2x-y)^{3/2}} }

および

∂2f∂x2=−1(2x−y)3/2,∂2f∂y2=−14(2x−y)3/2.\boxed{ \frac{\partial^2f}{\partial x^2} =-\frac{1}{(2x-y)^{3/2}},\qquad \frac{\partial^2f}{\partial y^2} =-\frac{1}{4(2x-y)^{3/2}} }.
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