早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2016年7月実施 計画数理学 問題9

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祭音Myyura

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需要が単位時間当たり で連続的に発生し、発注から 単位時間後に発注量 が入荷する基本的な在庫管理問題を考える。単位在庫を単位時間保管する費用を 、1回の固定発注費用を とする。

1. 経済的発注量を導出せよ。
2. のとき、最適発注量と最適発注間隔を求めよ。
3. 単位購入費用を とし、 なら が1割引となる。小問2の設定に加え として、費用関数のグラフを用いて最適発注量を求めよ。

Kai

[小問 1]

時刻0の在庫を とし、 回目の入荷時刻までの期間を とする。この期間の総販売量は

である。在庫は入荷のたびに だけ増え、期間の始点と終点で同じ水準に戻るので

在庫量は から0まで直線的に減少するため、平均在庫量は

したがって期間 の保管費用と発注費用は

となる。入荷間隔は であり、入荷の 時間前に発注するので、 回目の発注時刻は

である。単位時間当たりの総費用は

で微分すると

よって経済的発注量は

[小問 2]

したがって最適発注間隔は

リードタイムは なので、各入荷の 時間後、すなわち在庫量が になった時点で次回分を発注する。

[小問 3]

購入費用を含む単位時間当たりの総費用は

の範囲では が最小で、

では、割引後の費用関数の制約なし最小点 が範囲外にある。この範囲では なので、左端 が最小となり、

であるから、数量割引を利用する方が有利である。したがって