早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2016年7月実施 統計科学 問題4

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Author

祭音Myyura

Description

[小問 1]

独立な確率変数 が、密度

を持つ正規分布 に従う。 の最尤推定量とモーメント法による推定量を、それぞれ導出せよ。

[小問 2]

同時確率密度関数

について、、、 を求めよ。

[小問 3]

大数の法則について説明せよ。

Kai

[小問 1]

対数尤度は

まず

から を得る。次に

より

モーメント法では

を標本モーメントと等置する。したがって

[小問 2]

まず

の周辺密度は

である。よって で

であり、それ以外は0である。さらに

[小問 3]

が独立同分布で 、 を満たすとする。標本平均

は、任意の に対して

となる。したがって

である。これは弱大数の法則であり、標本数を増やすと標本平均が母平均へ確率収束することを表す。