早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2016年7月実施計画数理学問題9

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祭音Myyura

需要が単位時間当たり $d$ で連続的に発生し、発注から $p$ 単位時間後に発注量 $Q$ が入荷する基本的な在庫管理問題を考える。単位在庫を単位時間保管する費用を $B$ 、1回の固定発注費用を $K$ とする。

経済的発注量を導出せよ。
$B=2,\ K=1000,\ d=40,\ p=2$ のとき、最適発注量と最適発注間隔を求めよ。
単位購入費用を $A$ とし、 $Q\geq V$ なら $A$ が1割引となる。小問2の設定に加え $A=50,\ V=500$ として、費用関数のグラフを用いて最適発注量を求めよ。

時刻0の在庫を $Q$ とし、 $m$ 回目の入荷時刻までの期間を $[0,T]$ とする。この期間の総販売量は

\boxed{\text{\textcircled{1} }dT}

である。在庫は入荷のたびに $Q$ だけ増え、期間の始点と終点で同じ水準に戻るので

dT=mQ,\qquad \boxed{\text{\textcircled{2} }m=\frac{dT}{Q}}.

在庫量は $Q$ から0まで直線的に減少するため、平均在庫量は

\boxed{\text{\textcircled{3} }\frac{Q}{2}}.

したがって期間 $[0,T]$ の保管費用と発注費用は

\boxed{\text{\textcircled{4} }\frac{BQT}{2}},\qquad \boxed{\text{\textcircled{5} }\frac{KdT}{Q}}

となる。入荷間隔は $Q/d$ であり、入荷の $p$ 時間前に発注するので、 $k$ 回目の発注時刻は

\boxed{\text{\textcircled{6} }\frac{kQ}{d}-p}

である。単位時間当たりの総費用は

\boxed{\text{\textcircled{7} }C(Q)=\frac{BQ}{2}+\frac{Kd}{Q}}.

$Q>0$ で微分すると

C'(Q)=\frac{B}{2}-\frac{Kd}{Q^2},\qquad C''(Q)=\frac{2Kd}{Q^3}>0.

よって経済的発注量は

\boxed{\text{\textcircled{8} }Q^*=\sqrt{\frac{2Kd}{B}}}.

Q^* =\sqrt{\frac{2\cdot1000\cdot40}{2}} =\boxed{200}.

したがって最適発注間隔は

\frac{Q^*}{d}=\frac{200}{40} =\boxed{5}.

リードタイムは $p=2$ なので、各入荷の $5-2=3$ 時間後、すなわち在庫量が $dp=80$ になった時点で次回分を発注する。

購入費用を含む単位時間当たりの総費用は

C(Q)= \begin{cases} \displaystyle Q+\frac{40000}{Q}+2000, &0<Q<500,\\[6pt] \displaystyle Q+\frac{40000}{Q}+1800, &Q\geq500. \end{cases}

$Q<500$ の範囲では $Q=200$ が最小で、

C(200)=2400.

$Q\geq500$ では、割引後の費用関数の制約なし最小点 $Q=200$ が範囲外にある。この範囲では $C'(Q)>0$ なので、左端 $Q=500$ が最小となり、

C(500)=500+\frac{40000}{500}+1800=2380.

$2380<2400$ であるから、数量割引を利用する方が有利である。したがって

\boxed{Q^*=500}.