早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2016年7月実施 システム論 問題6

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祭音Myyura

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[小問 1]

次のゼロ和2人ゲームの利得行列 (a)–(e) について答えよ。行プレイヤーを最大化プレイヤー、列プレイヤーを最小化プレイヤーとする。

$$\begin{aligned} (a)&\quad\begin{pmatrix}0&1&-4\\-2&0&5\\5&2&6\end{pmatrix}, & (b)&\quad\begin{pmatrix}-2&-3&-1\\-3&-4&-2\\0&-5&-4\end{pmatrix},\\ (c)&\quad\begin{pmatrix}4&4&5\\3&1&4\\2&3&6\end{pmatrix}, & (d)&\quad\begin{pmatrix}2&3&7\\3&3&4\\5&4&6\end{pmatrix}, & (e)&\quad\begin{pmatrix}3&2&1\\8&5&4\\7&8&9\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

1. 鞍点がないゲームはどれか。
2. 純戦略の範囲で鞍点の値が同じゲームはどれか。
3. 複数の鞍点があるゲームはどれか。
4. 最大化プレイヤーの鞍点戦略が、他のすべての戦略に対する支配戦略となるゲームはどれか。

[小問 2]

囚人のジレンマを簡潔に定式化し、ナッシュ均衡を導出せよ。また、パレート最適の観点からその意味を考察せよ。

Kai

[小問 1]

各行の最小値、各列の最大値、鞍点を並べると次のようになる。

ゲーム	行最小値	列最大値	鞍点
(a)	$(-4,-2,2)$	$(5,2,6)$	$(3,2)$、値 $2$
(b)	$(-3,-4,-5)$	$(0,-3,-1)$	$(1,2)$、値 $-3$
(c)	$(4,1,2)$	$(4,4,6)$	$(1,1),(1,2)$、値 $4$
(d)	$(2,3,4)$	$(5,4,7)$	$(3,2)$、値 $4$
(e)	$(1,4,7)$	$(8,8,9)$	なし

したがって、

1. 鞍点がないのは $\boxed{(e)}$。
2. 鞍点の値が同じなのは $\boxed{(c),(d)}$。いずれも値は4である。
3. 複数の鞍点があるのは $\boxed{(c)}$。
4. 該当するのは $\boxed{(a)}$。第3行 $(5,2,6)$ は第1行と第2行を各列で上回り、最大化プレイヤーの支配戦略である。

[小問 2]

2人の囚人が別々に取り調べられ、各自が協調 $C$（黙秘）または裏切り $D$（自白）を選ぶとする。典型的な利得表は

	囚人2: $C$	囚人2: $D$
囚人1: $C$	$(3,3)$	$(0,5)$
囚人1: $D$	$(5,0)$	$(1,1)$

であり、利得の順序は $T>R>P>S$、ここでは $5>3>1>0$ である。

囚人2が $C$ なら囚人1は $D$ を選ぶと $5>3$、囚人2が $D$ でも囚人1は $D$ を選ぶと $1>0$ である。したがって囚人1にとって $D$ は $C$ を厳密に支配する。対称性により囚人2も同じなので、唯一のナッシュ均衡は

$$\boxed{(D,D)}$$

で、利得は $(1,1)$ となる。

しかし $(C,C)$ の利得 $(3,3)$ は両者にとって $(1,1)$ より大きいので、$(D,D)$ はパレート最適ではない。個人合理的な支配戦略の選択が、両者にとって劣る社会的結果を生む点が「ジレンマ」である。