早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2015年8月実施 线性代数

标签：

• Waseda-University
• Matrix-Determinant

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$A, B$ が $n$ 次正方行列 (square matrix) のとき, 次の等式を証明せよ。

$$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A - B| \cdot |A + B|$$

题目描述

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵。证明分块行列式恒等式

$$\begin{vmatrix} A&B\\ B&A \end{vmatrix} =|A-B|\,|A+B|.$$

Kai

Let $M = \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}$ . Then

$$\begin{aligned} |M| &= \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} A - B & B \\ B - A & A \end{vmatrix} \qquad (C_1 \rightarrow C_1 - C_2) \\ &= \begin{vmatrix} A - B & B \\ 0 & A+B \end{vmatrix} \qquad (R_2 \rightarrow R_2 + R_1) \\ &= |A - B| \cdot |A + B| \end{aligned}$$