早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2015年8月実施 线性代数

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• Waseda-University
• Inner-Product-and-Orthogonality

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の2つのベクトル $a$ , $b$ が直交する(orthogonal)ことを示せ. また, これらのベクトルに直交するベクトルの一般解(general solution)を示せ.

$$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}$$

题目描述

给定向量

$$a=\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}, \qquad b=\begin{bmatrix}1\\3\\7\end{bmatrix}.$$

证明 $a$ 与 $b$ 正交，并求同时与这两个向量正交的向量的一般解。

Kai

まず、 $a$ と $b$ が直交することを示す. ベクトルが直交するための条件は、内積が0となることである.

$$a \cdot b = (1)(1) + (2)(3) + (-1)(7) = 1 + 6 - 7 = 0$$

したがって、 $a$ と $b$ は直交する.

次に、 $a$ と $b$ の両方に直交するベクトル $v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ を求める. $v$ が $a$ と直交するための条件は、 $a \cdot v = 0$ である.

$$a \cdot v = (1)(x) + (2)(y) + (-1)(z) = x + 2y - z = 0$$

$v$ が $b$ と直交するための条件は、 $b \cdot v = 0$ である.

$$b \cdot v = (1)(x) + (3)(y) + (7)(z) = x + 3y + 7z = 0$$

これらの連立方程式を解く:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ x + 3y + 7z = 0 \end{cases}$$

第2式から第1式を引くと:

$$y + 8z = 0 \Rightarrow y = -8z$$

これを第1式に代入する:

$$x + 2(-8z) - z = 0 \Rightarrow x - 16z - z = 0 \Rightarrow x = 17z$$

したがって、 $v$ は次のようになる:

$$v = \begin{bmatrix} 17z \\ -8z \\ z \end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} 17 \\ -8 \\ 1 \end{bmatrix}$$

ここで、 $z$ は任意のスカラーである. よって、一般解は

$$v = t \begin{bmatrix} 17 \\ -8 \\ 1 \end{bmatrix}$$

(ここで $t$ は任意のスカラー)