早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2015年8月実施 线性代数

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• Matrix-Rank

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の行列のランク (rank)を求めよ.

$$\begin{bmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & -1 & -3 \end{bmatrix}$$

题目描述

求矩阵

$$\begin{bmatrix} 4&2&6\\ 1&1&3\\ -2&-1&-3 \end{bmatrix}$$

的秩。

Kai

To find the rank of the matrix, we can perform row operations to reduce it to row echelon form.

Let the matrix be

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & -1 & -3 \end{bmatrix}$$

.

First, swap row 1 and row 2:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{bmatrix}$$

Next, perform $R_2 \to R_2 - 4R_1$ and $R_3 \to R_3 + 2R_1$ :

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$

Multiply row 2 by $-\frac{1}{2}$ :

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$

Finally, perform $R_3 \to R_3 - R_2$ :

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

The row echelon form of the matrix has 2 non-zero rows. Therefore, the rank of the matrix is 2.

Answer: 2