早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2014年8月実施 概率统计

标签：

• Waseda-University
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2つの変数対 $(x, y)$ に関して $n=3$ のデータが表1に与えられている。相関係数(correlation coefficient)を求めよ。

表1 データ

题目描述

关于变量对 $(x,y)$，原题说明表 1 给出了 $n=3$ 组数据，要求计算相关系数。

现有原始题面只保留了“表 1 数据”的引用，表格本身缺失；Kai 中唯一给出的三组数据为

编号	$x$	$y$
1	2	3
2	4	3
3	6	6

以下仅按这三组可恢复的数据求相关系数，不补入其他表格信息。

Kai

相関係数 $r$ は以下の式で計算できます。

$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$$

まず、それぞれの平均値を計算します。

$$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$$

$$\bar{y} = \frac{3 + 3 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$$

次に、各データの偏差を計算します。

No.	$x_i$	$y_i$	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$	$(x_i - \bar{x})^2$	$(y_i - \bar{y})^2$
1	2	3	-2	-1	2	4	1
2	4	3	0	-1	0	0	1
3	6	6	2	2	4	4	4

それぞれの合計を計算します。

$$\sum_{i=1}^{3}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 2 + 0 + 4 = 6$$

$$\sum_{i=1}^{3}(x_i - \bar{x})^2 = 4 + 0 + 4 = 8$$

$$\sum_{i=1}^{3}(y_i - \bar{y})^2 = 1 + 1 + 4 = 6$$

相関係数 $r$ を計算します。

$$r = \frac{6}{\sqrt{8} \sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{48}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$

したがって、相関係数は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。