早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2014年8月実施线性代数

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思齐塾, 祭音Myyura

つぎの (1), (2)に答えよ.

(1) 連立1次方程式の解を求める Cramer の公式 (Cramer formula) を示せ.

(2) 次の連立1次方程式 (simultaneous linear equation) の解を求めよ.

x + 2y - z = 1

3x - 2y - z = 2

2x - y - 2z = 3

回答下列问题。

(1) クラーメルの公式 (Cramer's Rule):

与えられた連立一次方程式を以下のように表す。

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

ここで、 $A$ は係数行列、 $\mathbf{x}$ は変数のベクトル、 $\mathbf{b}$ は定数ベクトルである。

$\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)^T$ とし、 $A = (\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, ..., \mathbf{a_n})$ とする。ただし $\det(A)\neq0$ とする。

このとき、 $x_i$ は以下の式で与えられる。

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

ここで、 $A_i$ は行列 $A$ の $i$ 番目の列を $\mathbf{b}$ で置き換えた行列である。

実際， $\mathbf b=A\mathbf x=\sum_{j=1}^n x_j\mathbf a_j$ を $A_i$ の第 $i$ 列に代入し，行列式の多重線形性を用いると， $j\neq i$ の項は同じ列を2本持つため $0$ となる。したがって

\det(A_i)=x_i\det(A)

であり， $\det(A)\neq0$ より上の公式を得る。

(2) 与えられた連立一次方程式を解く。

x + 2y - z = 1 \quad (1)

3x - 2y - z = 2 \quad (2)

2x - y - 2z = 3 \quad (3)

(1) + (2) より、

4x - 2z = 3 \quad (4)

2*(1) - (3) より、

2(x + 2y - z) - (2x - y - 2z) = 2(1) - 3

2x + 4y - 2z - 2x + y + 2z = -1

5y = -1

y = -\frac{1}{5}

$y = -\frac{1}{5}$ を(1), (2), (3) に代入する

x - \frac{2}{5} - z = 1 \implies x - z = \frac{7}{5} \quad (5)

3x + \frac{2}{5} - z = 2 \implies 3x - z = \frac{8}{5} \quad (6)

2x + \frac{1}{5} - 2z = 3 \implies 2x - 2z = \frac{14}{5} \quad (7)

(6) - (5) より、

2x = \frac{1}{5}

x = \frac{1}{10}

$x = \frac{1}{10}$ を(5)に代入する。

\frac{1}{10} - z = \frac{7}{5}

z = \frac{1}{10} - \frac{14}{10}

z = -\frac{13}{10}

よって、 $x = \frac{1}{10}, y = -\frac{1}{5}, z = -\frac{13}{10}$