早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2014年8月実施 线性代数

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• Waseda-University
• Matrix-Inverse

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

正則行列(nonsingular matrix) $A$ に対して、 $XA=E$ または $AY = E$ となる行列 $X$ , $Y$ は $A$ の逆行列(inverse)であることを示せ。ここに、 $E$ は単位行列(identity matrix)を示すものとする。

题目描述

设 $A$ 为可逆矩阵，$E$ 为单位矩阵。证明：若矩阵 $X$ 满足 $XA=E$，则 $X$ 是 $A$ 的逆矩阵；若矩阵 $Y$ 满足 $AY=E$，则 $Y$ 是 $A$ 的逆矩阵。

Kai

证明:

若 $XA = E$ , 则 $X = A^{-1}$ . 两边同时乘以 $A^{-1}$ , 有 $XAA^{-1} = EA^{-1}$ ， 因为 $AA^{-1} = E$ , 所以 $XE = A^{-1}$ ， 因此 $X = A^{-1}$ .

若 $AY = E$ , 则 $Y = A^{-1}$ . 两边同时乘以 $A^{-1}$ , 有 $A^{-1}AY = A^{-1}E$ , 因为 $A^{-1}A = E$ , 所以 $EY = A^{-1}$ , 因此 $Y = A^{-1}$ .

所以，若 $XA = E$ 或 $AY = E$ , 则 $X$ 或 $Y$ 是 $A$ 的逆矩阵。