早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2014年8月実施 微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

制約条件 $3x^2 + 4xy + 2y^2 = 2$ のもとで、関数 (function)

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

の最大値と最小値を求めよ。

题目描述

在约束条件

$$3x^2+4xy+2y^2=2$$

下，求函数

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

的最大值与最小值。

Kai

We use Lagrange multipliers. Let $g(x, y) = 3x^2 + 4xy + 2y^2 - 2 = 0$ . We want to find the maximum and minimum values of $f(x, y) = x^2 + y^2$ subject to the constraint $g(x, y) = 0$ .

We set up the Lagrangian:

$$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(3x^2 + 4xy + 2y^2 - 2)$$

Taking partial derivatives and setting them to zero, we get:

$$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda(6x + 4y) = 0 \quad \Rightarrow \quad x - \lambda(3x + 2y) = 0$$

$$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda(4x + 4y) = 0 \quad \Rightarrow \quad y - \lambda(2x + 2y) = 0$$

$$3x^2 + 4xy + 2y^2 = 2$$

From the first two equations, we have:

$$x = \lambda(3x + 2y)$$

$$y = \lambda(2x + 2y)$$

これらは

$$\begin{pmatrix} 3&2\\ 2&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\mu\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \qquad \mu=\frac1\lambda$$

と同値である．したがって，停留点の方向は対称行列の固有ベクトルであり， 固有値は

$$\det\begin{pmatrix}3-\mu&2\\2&2-\mu\end{pmatrix} =\mu^2-5\mu+2=0$$

より

$$\mu_{\pm}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$$

である．固有値 $\mu$ の固有ベクトル上では，制約条件は $\mu(x^2+y^2)=2$ となるので， $f=2/\mu$ である． よって最大値と最小値はそれぞれ

$$\boxed{\max f=\frac{2}{\mu_-}=\frac{5+\sqrt{17}}{2}}, \qquad \boxed{\min f=\frac{2}{\mu_+}=\frac{5-\sqrt{17}}{2}}.$$