早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2014年8月実施 微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の問いに答えよ。

(1) 加法定理を用いて, 次式が成り立つことを示せ。

$$sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - cos 2x)$$

(2) 次の極限(limit)を求めよ。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2}$$

ただし、

$$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$$

を用いてよい。

题目描述

回答下列问题。

1. 使用三角函数加法公式证明

   $$\sin^2x=\frac12(1-\cos2x).$$

2. 求极限

   $$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.$$

   可以使用

   $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Kai

(1) 证明: 使用加法定理:

$$cos(2x) = cos(x+x) = cos x cos x - sin x sin x = cos^2 x - sin^2 x$$

所以:

$$sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2} \iff 2sin^2 x = 1 - cos 2x \iff cos 2x = 1 - 2sin^2 x$$

$$1 - cos 2x = 1 - (cos^2 x - sin^2 x) = 1 - cos^2 x + sin^2 x$$

因为

$$cos^2 x + sin^2 x = 1$$

, 所以

$$cos^2 x = 1 - sin^2 x$$

因此:

$$1 - cos^2 x + sin^2 x = 1 - (1-sin^2 x) + sin^2 x = 2sin^2 x$$

因此,原式成立.

(2) 解:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - cos x)(1 + cos x)}{x^2(1 + cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos^2 x}{x^2(1 + cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{sin^2 x}{x^2(1 + cos x)}$$

$$= \lim_{x \to 0} (\frac{sin x}{x})^2 \cdot \frac{1}{1 + cos x} = (\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x})^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + cos x} = 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$