早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2014年8月実施 微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の問いに答えよ。

(1) 加法定理を用いて, 次式が成り立つことを示せ。

$$\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)$$

(2) 次の極限(limit)を求めよ。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$$

ただし、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

を用いてよい。

题目描述

回答下列问题。

1. 使用三角函数加法公式证明

   $$\sin^2x=\frac12(1-\cos2x).$$

2. 求极限

   $$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.$$

   可以使用

   $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Kai

(1) 证明: 使用加法定理:

$$\cos(2x) = \cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$$

所以:

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \iff 2\sin^2 x = 1 - \cos 2x \iff \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$

$$1 - \cos 2x = 1 - (\cos^2 x - \sin^2 x) = 1 - \cos^2 x + \sin^2 x$$

因为

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

, 所以

$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$

因此:

$$1 - \cos^2 x + \sin^2 x = 1 - (1-\sin^2 x) + \sin^2 x = 2\sin^2 x$$

因此,原式成立.

(2) 解:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)}$$

$$= \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} = (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x})^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} = 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$