早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2014年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$x > 1$ に対し、次の関数(function) の微分 (derivative)を求めよ.

$$f(x) = (x + 2\log_e x)^x$$

ただし、 $e$ は自然対数の底(base of the natural logarithm) とする.

题目描述

设 $x>1$。求函数

$$f(x)=(x+2\log_e x)^x$$

的导数，其中 $e$ 为自然对数的底。

Kai

Let $y = f(x) = (x + 2\log_e x)^x = (x + 2\ln x)^x$ . Take the natural logarithm of both sides:

$$\ln y = \ln (x + 2\ln x)^x = x \ln(x + 2\ln x)$$

Differentiate both sides with respect to $x$ using the chain rule and product rule:

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x + 2\ln x) + x \cdot \frac{1}{x + 2\ln x} \cdot (1 + \frac{2}{x})$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x + 2\ln x) + \frac{x}{x + 2\ln x} \cdot \frac{x + 2}{x}$$

$$\frac{dy}{dx} = y \left[ \ln(x + 2\ln x) + \frac{x + 2}{x + 2\ln x} \right]$$

Substitute $y = (x + 2\ln x)^x$ :

$$f'(x) = \frac{dy}{dx} = (x + 2\ln x)^x \left[ \ln(x + 2\ln x) + \frac{x + 2}{x + 2\ln x} \right]$$

Thus, the derivative of $f(x)$ is:

$$f'(x) = (x + 2\ln x)^x \left( \ln(x + 2\ln x) + \frac{x+2}{x + 2\ln x} \right)$$