早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2013年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

確率変数(random variable) $x$ が下記の確率密度関数(probability density function)をもつとき、 $x$ の期待値 (expectation) $E(x)$ を求めよ.

f(x) = \begin{cases} 3e^{-3x} & x \geq 0 \text{ のとき} \\ 0 & x < 0 \text{ のとき} \end{cases}

随机变量 $x$ 的概率密度函数为

f(x)= \begin{cases} 3e^{-3x},&x\geq0,\\ 0,&x<0. \end{cases}

求 $x$ 的期望 $E(x)$ 。

期待値 $E(x)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を用いて次のように計算できます。

E(x) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

今回の問題では、 $f(x)$ が区分的に定義されているため、積分範囲を分けて計算します。

E(x) = \int_{-\infty}^{0} x \cdot 0 dx + \int_{0}^{\infty} x \cdot 3e^{-3x} dx

最初の積分は0なので、

E(x) = \int_{0}^{\infty} 3xe^{-3x} dx = 3\int_{0}^{\infty} xe^{-3x} dx

部分積分を用いて、 $\int xe^{-3x} dx$ を計算します。 $u = x$ , $dv = e^{-3x}dx$ とすると、 $du = dx$ , $v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$ となります。

\int xe^{-3x} dx = x(-\frac{1}{3}e^{-3x}) - \int (-\frac{1}{3}e^{-3x})dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} + \frac{1}{3}\int e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x} + C

したがって、

\int_{0}^{\infty} xe^{-3x} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x}]_0^t = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{3}te^{-3t} - \frac{1}{9}e^{-3t} - (0 - \frac{1}{9})] = 0 - 0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}

（ここで $\lim_{t \to \infty} te^{-3t} = 0$ であることを利用しました。）

よって、

E(x) = 3 \int_{0}^{\infty} xe^{-3x} dx = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

したがって、 $E(x) = \frac{1}{3}$