早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2013年8月実施线性代数

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思齐塾, 祭音Myyura

次の行列 (matrix) $A$ の階数 (rank) が 3 となるための、 $k$ の値に関する必要十分条件を求めよ。ただし $k$ は実数 (real number) とする。

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & k \end{pmatrix}

设 $k$ 为实数。求 $k$ 满足什么必要且充分条件时，矩阵

A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&4\\ 1&2&k \end{pmatrix}

的秩为 $3$ 。

行列 $A$ の階数が 3 となるための $k$ の必要十分条件を求める。行列式 $|A|$ が 0 でないとき、行列の階数は 3 である。

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & k \end{vmatrix}

$|A|$ を計算する：

|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & k \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & k \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

= 1(2k - 8) - 1(k - 4) + 1(2 - 2)

= 2k - 8 - k + 4 + 0

= k - 4

階数が 3 となるためには、 $|A| \neq 0$ である必要がある。したがって、 $k - 4 \neq 0$ , つまり $k \neq 4$ 。

したがって、行列 $A$ の階数が 3 となるための必要十分条件は、 $k \neq 4$ である。