早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2013年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の定積分 (definite integral) を計算せよ.

$$I = \int_0^1 (\log_e x)^2 dx$$

ただし、 $\log_e x$ は自然対数 (natural logarithm) 関数である.

题目描述

计算定积分

$$I=\int_0^1(\log_e x)^2\,dx,$$

其中 $\log_e x$ 表示自然对数函数。

Kai

We want to calculate $\int_0^1 (\log_e x)^2 dx$ . Let $u = (\log_e x)^2$ , $dv = dx$ . Then $du = 2(\log_e x)\frac{1}{x} dx$ , $v = x$ . Using integration by parts, we have

$\int_0^1 (\log_e x)^2 dx = x(\log_e x)^2 \Big|_0^1 - \int_0^1 x \cdot 2(\log_e x)\frac{1}{x} dx = x(\log_e x)^2 \Big|_0^1 - 2 \int_0^1 \log_e x dx$ .

Now, $\lim_{x \to 0^+} x(\log_e x)^2 = 0$ . So, $x(\log_e x)^2 \Big|_0^1 = 1(\log_e 1)^2 - 0 = 0$ .

$\int_0^1 \log_e x dx$ . Let $u = \log_e x$ , $dv = dx$ . Then $du = \frac{1}{x} dx$ , $v = x$ . So, $\int_0^1 \log_e x dx = x \log_e x \Big|_0^1 - \int_0^1 x \frac{1}{x} dx = x \log_e x \Big|_0^1 - \int_0^1 dx = x \log_e x \Big|_0^1 - x \Big|_0^1$ . $\lim_{x \to 0^+} x \log_e x = 0$ . So, $x \log_e x \Big|_0^1 = 1 \log_e 1 - 0 = 0$ . Therefore, $\int_0^1 \log_e x dx = 0 - (1 - 0) = -1$ .

Thus, $I = 0 - 2(-1) = 2$ .

Therefore, $\int_0^1 (\log_e x)^2 dx = 2$ .