早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2013年8月実施 微积分

标签：

• Waseda-University
• Differentiation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$n > m > 0$ を二つの整数としたとき、次を一つの2項係数 (binomial coefficient) で表せ.

$$\sum_{k=m}^{n} {k \choose m}$$

ただし、2項係数 ${k \choose m}$ は次式によって定義される.

$${k \choose m} = \frac{k!}{m!(k-m)!}$$

题目描述

设 $n>m>0$ 为两个整数。将下式表示为一个二项式系数：

$$\sum_{k=m}^{n}{k\choose m}.$$

其中，二项式系数定义为

$${k\choose m}=\frac{k!}{m!(k-m)!}.$$

Kai

We want to evaluate the sum $\sum_{k=m}^n {k \choose m}$ .

Using the identity ${k \choose m} = {k+1 \choose m+1} - {k \choose m+1}$ , we have:

$$\sum_{k=m}^n {k \choose m} = \sum_{k=m}^n \left( {k+1 \choose m+1} - {k \choose m+1} \right)$$

This is a telescoping sum. So,

$$\sum_{k=m}^n {k \choose m} = \left( {m+1 \choose m+1} - {m \choose m+1} \right) + \left( {m+2 \choose m+1} - {m+1 \choose m+1} \right) + \dots + \left( {n+1 \choose m+1} - {n \choose m+1} \right)$$

Since ${m \choose m+1} = 0$ , we get

$$\sum_{k=m}^n {k \choose m} = {n+1 \choose m+1}$$

Therefore, the sum $\sum_{k=m}^n {k \choose m}$ can be expressed as a single binomial coefficient ${n+1 \choose m+1}$ .