早稲田大学 創造理工学研究科 経営デザイン専攻 2025年実施 専門科目 問4（品質・信頼性マネジメント）

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

小問1

管理図においては，第1種の過誤を通常の検定よりも小さく設定している。その理由を説明せよ。

小問2

新商品開発において，品質表と呼ばれる手法が用いられることがある。手法の概略と，作成の目的，意義を簡潔に説明せよ。

小問3

次の文章で正しいものに○，正しくないものには×を解答欄に記入せよ。また，×と解答した場合には，その理由を記述せよ。

① パレート図は，問題解決において重要なテーマを絞るために書く。重要なテーマに絞る考え方を，事実に基づく管理という。

② 管理図における連とは，プロットした点が連続して上昇または下降することである。

③ 工程能力指数 $C_p$ と $C_{pk}$ の両方を計算して $C_p>1.33$，$C_{pk}<1.0$ の場合は，平均に問題はないがばらつきに問題があると判断できる。

④ 相関係数は，$x$ と $y$ の直線関係の強さを見る指標である。

⑤ 顧客要求を工学的特性に変換する行為を，設計という。

小問4

機器の故障分布関数（failure distribution function）を $F(t)$ とし，運転開始後 $t$ 時間までの間にこの機器が故障する確率を表すものとする。また，機器の信頼度関数（reliability function）を $R(t)$ とする。この機器について以下の問いに答えなさい。解答にあたっては，導出過程がわかるようにすること。

(1) $R(t)$ を，$F(t)$ を用いて表しなさい。

(2) $F(t)$ の時間微分 $f(t)$ は故障密度関数（failure density function）と呼ばれ，$dt$ を微小な値とすると，$f(t)dt$ は時間間隔 $[t,t+dt]$ において機器が故障する確率を表す。時刻 $t$ において残存している機器のうち，その後の時間間隔 $[t,t+dt]$ に故障する確率を $\lambda(t)$ とする。$R(t)$，$\lambda(t)$，$f(t)$ の間の関係式を記しなさい。

(3) 機器が直列に接続されたシステムを考える。各機器の故障が偶発型であり，その故障率（failure rate）が $\lambda(t)=2.0\times10^{-5}$ ［／時間］で一定であるとき，200台の機器から構成されるシステム全体の故障率を答えなさい。また，システムの1日の稼働時間を15時間，年間の稼働日数を300日としたとき，予想される年間の故障回数を答えなさい。ただし，故障した機器はすぐに交換・修理されるため，システムのダウンタイムは無視できるものとする。

小問5

下記の文章の①から⑨の空欄に当てはまる語，もしくは式を解答欄に記しなさい。

多くの要素から構成されるシステムの一生における故障率の変化は（①）曲線に従うと言われる。すなわち，システムの一生は，故障率が減少する（②）期間，故障率一定の（③）期間，故障率が増加する（④）期間に分けられるとされる。

故障解析では，故障分布関数として（⑤）分布を仮定することがあるが，この分布は故障率が一定の（③）期間に当てはまるものである。一方，上記の3期間のいずれの場合も表現できることで故障分布として広く用いられている分布に次式で示される（⑥）分布がある。

$$F(t)=1-\exp\left\{-\left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^m\right\}.$$

この式中の $m$ は形状パラメータと呼ばれ，（⑦）の時に故障率が時間とともに減少する場合を，（⑧）のとき故障率が一定の場合を，また，（⑨）のときに故障率が時間とともに増加する場合を表す。

小問6

図1は，ハードディスクシステム（hard disk system）の信頼性を高めるためのRAID（Redundant Arrays of Inexpensive Disks）構成を表している。この構成では，RAIDコントローラを介してハードディスクドライブHDD1とHDD2に同一のデータが書き込まれる。すなわち，一方のハードディスクドライブが故障しても，もう一方のハードディスクドライブによってシステムの機能は維持される。このシステムについて以下の問いに答えなさい。

(1) システムの故障を頂上事象（top event）としたFT（Fault Tree）図を作成しなさい。ただし，HDD1，HDD2，RAIDコントローラ，電源ユニットの故障を基本事象（basic event）とし，それぞれ，H1，H2，R，Pと表記すること。その他の事象は，記号を用いずに事象名を直接FT図に書き込むこと。

(2) 作成したFT図について，すべてのミニマルカットセット（minimal cut set）を求めなさい。

(3) システムを5年間連続稼働させたときの各ハードディスクドライブの信頼度が0.90であったとする。ハードディスクドライブを増やすことでシステムの信頼度を0.9999以上にするためには，同一のデータを書き込むハードディスクドライブを何台以上にする必要があるか答えなさい。

题目描述

1. 说明为什么控制图通常把第一类错误概率设得比一般假设检验更小。
2. 简述新产品开发中“质量表”的方法、制作目的与意义。
3. 判断下列说法，错误时说明原因：① 帕累托图用于筛选重点问题，这种思想叫“基于事实的管理”；② 控制图的“连”是点连续上升或下降；③ $C_p>1.33$ 且 $C_{pk}<1.0$ 表示均值没有问题而离散程度有问题；④ 相关系数衡量两变量的线性关系强弱；⑤ 将顾客要求转化为工程特性的行为叫作设计。
4. 设设备在时间 $t$ 前失效的概率为 $F(t)$，可靠度为 $R(t)$，失效密度为 $f(t)=F'(t)$，回答并给出推导：(1) 用 $F$ 表示 $R$；(2) 原题把时刻 $t$ 尚未失效的设备在 $[t,t+dt]$ 内失效的条件概率记为 $\lambda(t)$，求 $R,\lambda,f$ 的关系；(3) 200台设备串联，各设备恒定失效率 $2.0\times10^{-5}$／小时，每天工作15小时、每年300天，故障立即维修或更换且停机时间忽略。求系统失效率和年期望故障次数。
5. 填空：系统一生的失效率变化一般称为①曲线，依次经历失效率下降的②期、恒定的③期和上升的④期。⑤分布适合③期；给定 $F(t)=1-\exp\{-((t-\gamma)/\eta)^m\}$ 的⑥分布，通过改变形状参数 $m$ 可分别表示三种趋势。求下降、恒定、上升对应的⑦、⑧、⑨条件。
6. 图1中，一个电源单元为RAID控制器及HDD1、HDD2供电，控制器向两块硬盘写入相同数据，任一硬盘正常即可维持存储功能。(1) 以系统故障为顶事件画故障树，基本事件H1、H2、R、P分别表示两块硬盘、控制器、电源故障，其他事件直接写名称；(2) 求全部最小割集；(3) 每块硬盘连续工作5年的可靠度为0.90，求达到0.9999可靠度所需的硬盘数。

Kai

小問1

管理図では同じ工程を繰り返し監視するため，1回の誤警報確率が大きいと，正常な工程でも不要な停止・点検・調整が頻発する。これを防ぐため，第1種の過誤を小さく設定する。例えば，正規分布の $3\sigma$ 限界の外側に出る確率は約 $0.0027$ である。

小問2

品質表は，顧客の要求品質と，それを実現する技術的な品質特性を二元表にし，両者の関連の強さを示すものである。要求の重要度や競合比較を踏まえて設計目標と重点項目を決め，要求の見落としを防ぐとともに，企画・設計・製造部門で目標を共有するために作成する。

小問3

番号	判定	理由
①	×	重要な少数の問題に力を集中するのは「重点指向」である。
②	×	「連」は点が中心線の同じ側に続くこと。連続する上昇・下降は「傾向」である。
③	×	規格幅に対するばらつきは小さいが，平均が規格中心から偏っている。
④	○	相関係数は線形関係を表す。
⑤	○	顧客要求を実現する工学的な特性・仕様を定めるのが設計である。

③について，規格上限・下限を $U,L$ とすれば，

$$C_p=\frac{U-L}{6\sigma},\qquad C_{pk}=\min\left\{\frac{U-\mu}{3\sigma},\frac{\mu-L}{3\sigma}\right\}.$$

$C_p$ が大きく $C_{pk}$ が小さいのは，主に平均の偏りを示す。

小問4

(1)

故障時刻を $T$ とすると，

$$\boxed{R(t)=P(T>t)=1-F(t)}.$$

(2)

条件付き故障確率は

$$P(t<T\leq t+dt\mid T>t) =\frac{F(t+dt)-F(t)}{R(t)} =\frac{f(t)}{R(t)}dt+o(dt).$$

したがって，$\lambda(t)$ を単位時間当たりの故障率とすれば，

$$\boxed{\lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}=-\frac{R'(t)}{R(t)}}.$$

原文どおり $\lambda(t)$ を微小区間の確率と読む場合は，$\lambda(t)\simeq f(t)dt/R(t)$ となる。

(3)

各機器の故障を独立とすると，直列系の信頼度は

$$R_{\mathrm{sys}}(t) =\prod_{j=1}^{200}e^{-\lambda t} =e^{-200\lambda t}.$$

よって，システムの故障率は

$$\boxed{\lambda_{\mathrm{sys}}=200\times2.0\times10^{-5} =4.0\times10^{-3}\text{ ／時間}}.$$

直ちに修復されるので，年間 $15\times300=4500$ 時間における期待故障回数は

$$\boxed{4500\lambda_{\mathrm{sys}}=18\text{ 回／年}}.$$

小問5

空欄	解答
①	バスタブ
②	初期故障
③	偶発故障
④	摩耗故障
⑤	指数
⑥	ワイブル
⑦	$0<m<1$
⑧	$m=1$
⑨	$m>1$

実際，$t>\gamma$，$\eta>0$，$m>0$ で

$$\lambda(t)=\frac{m}{\eta}\left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^{m-1},\qquad \lambda'(t)=\frac{m(m-1)}{\eta^2}\left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^{m-2}.$$

したがって，増減は $m-1$ の符号で決まる。

小問6

(1)

システム故障は「コントローラ故障」「電源故障」「両HDDの故障」のいずれかで起こる。

(2)

一つでも生じればシステム故障となる最小の基本事象の組は，

$$\boxed{\{R\},\quad\{P\},\quad\{H1,H2\}}.$$

(3)

HDDの故障を独立とし，コントローラと電源が正常に動作する条件下では，$n$ 台のHDD系の信頼度は

$$R_{\mathrm{HDD}}=1-(1-0.90)^n=1-10^{-n}.$$

$$1-10^{-n}\geq0.9999 \quad\Longleftrightarrow\quad n\geq4.$$

したがって，この条件下で必要な台数は $\boxed{4\text{ 台以上}}$。

システム全体の無条件の信頼度を求める場合は，独立性の下で $R_{\mathrm{sys}}=R_RR_P(1-10^{-n})$ となるため，コントローラと電源の信頼度も必要である。