早稲田大学 創造理工学研究科 経営デザイン専攻 2025年実施 専門科目 問1（統計学）

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• Chi-Square-Distribution
• Central-Limit-Theorem
• Least-Squares-Method

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

[小問 1]

表1は，織物の樹脂加工工程で，樹脂の種類 $A$ が織物の引っ張り強さに与える影響を調べるため，樹脂の種類を4水準とり実験した結果である。特性値は引っ張り強さで，値は大きい方がよい。なお，$A_3$ は，データの記録ミスがあったので，3回分のデータしかない。

表1　実験データ（単位：kg）

水準	1回目	2回目	3回目	4回目
$A_1$	70	73	75	72
$A_2$	74	74	77	75
$A_3$	78	75	79
$A_4$	76	78	75	75

(1) グラフを書き，得られる情報を箇条書きでまとめよ。

(2) 分散分析表を作成せよ（検定は行わなくてよい）。

(3) 最適水準における母平均を推定せよ。

[小問 2]

ある食品製造会社では，スモークサーモンを製造・販売しているが，市場からクレームが寄せられている。地域によりクレームの出方に違いがあるとの意見が社員から出たので，4つの地域（P1〜P4）に対して，これを調査することにした。

クレームの内容としては，魚肉の弾力性がなくなる「肉質不良」，色が変化してしまう「肉色不良」，魚肉の身が割れてしまう「身割れ不良」がある。ある月の月報から，地域別，クレーム項目別の発生件数を調べたところ，表2が得られた。地域によりクレームの出方に違いがあるか，解析せよ。

表2　地域別，クレーム項目別のクレーム件数

クレーム項目	P1	P2	P3	P4	合計
肉質不良	16	5	35	10	66
肉色不良	13	14	6	21	54
身割れ不良	5	7	11	7	30
合計	34	26	52	38	150

[小問 3]

下記の用語の意味を，簡潔に説明せよ。

(1) サンプリングエラー

(2) 標示因子

[小問 4]

次の文章で正しいものに○，正しくないものには×を解答欄に記入せよ。また，×と解答した場合には，その理由を記述せよ。

(1) 任意の分布に従う互いに独立な確率変数の和は，近似的に正規分布に従う。

(2) 検定では，対立仮説が正しいときにそれを検出できることが重要であり，この確率のことを検出力という。

(3) 実験において，二つの要因のどちらが効いているかわからない場合，要因に交互作用があるという。

(4) 繰返しのある二元配置実験のデータを $x_{ijk}$ で表す。$A\times B$ が有意の場合，最適水準を $A_iB_j$ とすると，最適水準での母平均の点推定値は，$\bar x_{i\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot j\cdot}-\bar x_{\cdot\cdot\cdot}$ で求められる。

(5) 繰返し数の等しくない一元配置実験において，ある水準だけ繰返し数が3で，他の水準はすべて繰返し数が1であった。この場合でも誤差の大きさが推定できるのは，誤差に正規性を仮定しているからである。

(6) 単回帰モデルを $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ で表す。回帰母数 $\beta_0,\beta_1$ の推定値を $\hat\beta_0,\hat\beta_1$ とすると，$\hat\beta_0,\hat\beta_1$ は，実測値 $y_i$ と，回帰直線上の値 $\hat y_i$ との差 $e_i=y_i-\hat y_i$ を最小にする値である。

(7) 範囲 $R=x_{\max}-x_{\min}$ は，ロバストな統計量である。

付表

$t$ 表（自由度 $\phi$ と両側確率 $P$ から $t$ を求める表）

$\phi$	$P=0.10$	$P=0.05$	$P=0.01$
5	2.015	2.571	4.032
6	1.943	2.447	3.707
7	1.895	2.365	3.499
8	1.860	2.306	3.355
9	1.833	2.262	3.250
10	1.812	2.228	3.169
11	1.796	2.201	3.106
12	1.782	2.179	3.055
13	1.771	2.160	3.012
14	1.761	2.145	2.977
15	1.753	2.131	2.947
16	1.746	2.120	2.921
17	1.740	2.110	2.898
18	1.734	2.101	2.878
19	1.729	2.093	2.861
20	1.725	2.086	2.845

$\chi^2$ 表（自由度 $\phi$ と上側確率 $p$ から $\chi^2$ を求める表）

$\phi$	$p=0.05$	$p=0.025$	$p=0.01$
5	11.07	12.83	15.09
6	12.59	14.45	16.81
7	14.07	16.01	18.48
8	15.51	17.53	20.1
9	16.92	19.02	21.7
10	18.31	20.5	23.2
11	19.68	21.9	24.7
12	21.0	23.3	26.2
13	22.4	24.7	27.7
14	23.7	26.1	29.1
15	25.0	27.5	30.6
16	26.3	28.8	32.0
17	27.6	30.2	33.4
18	28.9	31.5	34.8
19	30.1	32.9	36.2
20	31.4	34.2	37.6

题目描述

小问1。 研究织物树脂加工工序中树脂种类 $A$ 对抗拉强度的影响，选取4个水平进行试验。抗拉强度越大越好，单位为 kg。因记录失误，$A_3$ 只有3次数据。各组数据为：$A_1=(70,73,75,72)$，$A_2=(74,74,77,75)$，$A_3=(78,75,79)$，$A_4=(76,78,75,75)$。

(1) 绘图并分点总结可以读出的信息。(2) 编制方差分析表，无须进行检验。(3) 估计最优水平下的总体均值。

小问2。 某食品公司生产销售烟熏三文鱼，接到肉质不良（失去弹性）、肉色不良（变色）、身裂不良（鱼肉开裂）三类投诉。为了分析4个地区 P1〜P4 的投诉构成是否不同，整理了表2所示的月度投诉数。进行统计分析。三类投诉在4个地区的件数分别为 $(16,5,35,10)$、$(13,14,6,21)$、$(5,7,11,7)$。

小问3。 简要解释：(1) 抽样误差；(2) 标示因子。

小问4。 判断下列陈述正误，正确记○，错误记×并说明理由。

(1) 服从任意分布的相互独立随机变量之和近似服从正态分布。

(2) 备择假设为真时，检验能检测出它的概率称为检验功效。

(3) 在试验中无法确定两个因素中哪个起作用时，称它们存在交互作用。

(4) 有重复的双因素试验数据记为 $x_{ijk}$。若 $A\times B$ 显著、最优水平为 $A_iB_j$，则该水平总体均值的点估计为 $\bar x_{i\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot j\cdot}-\bar x_{\cdot\cdot\cdot}$。

(5) 重复次数不相等的单因素试验中，一个水平重复3次，其余水平各1次。仍可估计误差大小，是因为假设误差具有正态性。

(6) 单回归模型为 $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$，参数估计值 $\hat\beta_0,\hat\beta_1$ 是使观测值与回归直线预测值之差 $e_i=y_i-\hat y_i$ 最小的值。

(7) 极差 $R=x_{\max}-x_{\min}$ 是稳健的统计量。

附表给出自由度5〜20的 $t$ 分布双侧临界值与 $\chi^2$ 分布上侧临界值，数值见上表。小问1、2未指定置信水平或显著性水平。

Kai

[小問 1]

(1)

• 水準平均は $A_1:72.50$，$A_2:75.00$，$A_3:77.33$，$A_4:76.00$ kg であり，標本平均では $A_3$ が最も大きい。
• $A_1$ の測定値は他の3水準より低い傾向がある。一方，水準内にもばらつきがあり，測定値の範囲は重なっている。
• $A_3$ の反復数は3，他は4である。平均の大小だけで母平均の差を断定することはできない。

(2)

反復数を $n_i$，水準ごとの合計を $T_i$ とすると，

$$(n_1,n_2,n_3,n_4)=(4,4,3,4),\qquad (T_1,T_2,T_3,T_4)=(290,300,232,304).$$

総数 $N=15$，総和 $T=1126$，二乗和 $\sum_{i,j}x_{ij}^2=84604$ より，

$$\begin{aligned} S_T&=84604-\frac{1126^2}{15} =\frac{1184}{15},\\ S_A&=\frac{290^2}{4}+\frac{300^2}{4} +\frac{232^2}{3}+\frac{304^2}{4}-\frac{1126^2}{15} =\frac{679}{15},\\ S_E&=S_T-S_A=\frac{101}{3}. \end{aligned}$$

したがって分散分析表は次のとおり。

要因	平方和	自由度	平均平方	分散比
$A$	45.2667	3	15.0889	4.9300
誤差	33.6667	11	3.0606
合計	78.9333	14

(3)

標本平均が最大の $A_3$ を選び，母平均の点推定値を

$$\boxed{\hat\mu_3=\bar x_3=\frac{232}{3}\simeq77.33\ \mathrm{kg}}$$

とする。信頼率を95%とし，独立・等分散の正規誤差を仮定して，共通誤差分散の推定値 $V_E=101/33$ を用いると，$\mu_3$ の通常の $t$ 信頼区間は

$$\bar x_3\pm t_{11,\,0.975}\sqrt{\frac{V_E}{n_3}} =\frac{232}{3}\pm2.201\sqrt{\frac{101}{99}}.$$

よって

$$\boxed{75.11\le\mu_3\le79.56\quad(\mathrm{kg})}.$$

[小問 2]

帰無仮説 $H_0$ を「地域とクレーム項目は独立である」，対立仮説 $H_1$ を「独立でない」とする。$H_0$ のもとでの期待度数は，行合計と列合計の積を150で割った値である。

クレーム項目	P1	P2	P3	P4
肉質不良	14.96	11.44	22.88	16.72
肉色不良	12.24	9.36	18.72	13.68
身割れ不良	6.80	5.20	10.40	7.60

観測度数を $O_{ij}$，期待度数を $E_{ij}$ とすると，

$$\chi_0^2=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^4 \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} =\frac{18125}{627}\simeq28.91.$$

自由度は $(3-1)(4-1)=6$ であり，

$$28.91>\chi^2_{6,\,0.99}=16.81.$$

したがって，有意水準1%で $H_0$ を棄却する。地域によってクレーム項目の構成に差がある。 P3では肉質不良が多く肉色不良が少ないなど，構成比が異なる。なお，販売数量が与えられていないため，地域ごとの製品当たりのクレーム発生率は比較できない。

[小問 3]

(1) サンプリングエラー

母集団全体ではなく一部を標本として抽出するために生じる，推定値の偶然的な変動・誤差。測定ミスや回答漏れなどの非標本誤差とは区別する。

(2) 標示因子

その因子自身の最適水準を選ぶことを目的とせず，水準によって制御因子の効果や最適条件が変わるかを調べるために取り上げる因子。適用の場で自由に選べない使用環境などが該当し，制御因子との交互作用を調べる。

[小問 4]

(1) ×

独立性だけでは不十分である。例えば，独立な標準コーシー変数 $X_1,\ldots,X_n$ では，$n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$ も標準コーシー分布となり，正規分布には近づかない。中心極限定理には，例えば独立同分布かつ有限の正の分散などの条件と，十分に多い項数が必要である。

(2) ○

(3) ×

交互作用とは，ある因子の効果が他の因子の水準によって変わることである。二つの要因の効果を区別できないことは，交絡などによる識別の問題である。

(4) ×

交互作用が有意なときは，その効果を含めた組合せの平均を用い，

$$\boxed{\hat\mu_{ij}=\bar x_{ij\cdot}}$$

とする。設問の式は交互作用を含まない加法モデルでの推定式である。

(5) ×

誤差分散を推定できるのは，同一水準での反復があり，水準間で共通の誤差分散を仮定するからである。反復のある水準を $i_0$ とすると，誤差自由度は $3-1=2$，推定値は

$$\hat\sigma^2=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^3 (x_{i_0k}-\bar x_{i_0\cdot})^2.$$

これは独立・等分散の誤差のもとで不偏であり，正規性は不偏推定の必要条件ではない。

(6) ×

最小二乗推定値は，個々の残差ではなく，残差平方和

$$\sum_i(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2$$

を最小にする値である。

(7) ×

極端な観測値が一つ加わるだけで最大値または最小値が大きく変わるため，範囲は外れ値に敏感であり，ロバストではない。