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早稲田大学 先進理工学研究科 共同原子力専攻 2022年8月実施 数学一般 その1

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Author​

Miyake, 祭音Myyura

Description​

問題の要旨（日本語）​

問題の要約

  1. f(x,y)=x3+xy−y3−1=0f(x,y)=x^3+xy-y^3-1=0 が (1,1)(1,1) 付近で定める陰関数 y=g(x)y=g(x) について、g(x)=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯g(x)=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+\cdots の最初の3係数を求める。
  2. y′′+y=cos⁡t+sin⁡ty''+y=\cos t+\sin t の一般解を求める。

公式の試験問題

题目描述​

  1. 对函数

    f(x,y)=x3+xy−y3−1,f(x,y)=x^3+xy-y^3-1,

    在 (x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1) 附近考虑由 f(x,y)=0f(x,y)=0 确定的隐函数 y=g(x)y=g(x)。若 g(x)g(x) 在 x=1x=1 附近展开为

    g(x)=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯ ,g(x)=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+\cdots,

    分别求系数 a0,a1,a2a_0,a_1,a_2。

  2. 求微分方程

    y′′(t)+y(t)=cos⁡t+sin⁡ty''(t)+y(t)=\cos t+\sin t

    的通解。

Kai​

(1)​

まず、 y=g(x)y=g(x) が (x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1) を通ることから、 a0=1a_0=1 がわかる。

次に、 t=x−1t=x-1 とおくと、

f(x,y)=(t+1)3+(t+1)y−y3−1=t3+3t2+3t+(t+1)y−y3g(x)=1+a1t+a2t2+⋯f(x,g(x))=(−2a1+4)t+(−3a12+a1−2a2+3)t2+⋯ \begin{aligned} f(x,y) &= (t+1)^3 + (t+1) y - y^3 - 1 \\ &= t^3 + 3t^2 + 3t + (t+1)y - y^3 \\ g(x) &= 1 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots \\ f(x,g(x)) &= (-2a_1+4)t + (-3a_1^2+a_1-2a_2+3)t^2 + \cdots \end{aligned}

である。

11 に十分近い xx （ 00 に十分近い tt ）について f(x,g(x))=0f(x,g(x))=0 であることから、

−2a1+4=0, −3a12+a1−2a2+3=0∴  a1=2, a2=−72 \begin{aligned} -2a_1+4 &= 0, \ -3a_1^2+a_1-2a_2+3 = 0 \\ \therefore \ \ a_1 &= 2, \ a_2 = - \frac{7}{2} \end{aligned}

がわかる。

(2)​

右辺が同次方程式の解と共鳴するので、特殊解を

yp(t)=t(Acos⁡t+Bsin⁡t)y_p(t)=t(A\cos t+B\sin t)

とおく。代入すると −2Asin⁡t+2Bcos⁡t=cos⁡t+sin⁡t-2A\sin t+2B\cos t=\cos t+\sin t より A=−1/2A=-1/2, B=1/2B=1/2 である。したがって通解は

y(t)=C1cos⁡t+C2sin⁡t+t2(sin⁡t−cos⁡t).\boxed{y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t+\frac{t}{2}(\sin t-\cos t)}.
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