早稲田大学 先進理工学研究科 物理学及応用物理学専攻 2022年8月実施 量子力学および熱・統計力学 問題5

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Author

Miyake

Description

题目描述

考虑某量子粒子的两个不同状态 $|L\rangle,|R\rangle$。二者均已归一化且彼此正交：

$$\langle L|L\rangle=\langle R|R\rangle=1,\qquad \langle L|R\rangle=\langle R|L\rangle=0.$$

假设与这两个状态正交的其他状态均不参与，故 $\{|L\rangle,|R\rangle\}$ 构成完备基底，并有

$$|L\rangle\langle L|+|R\rangle\langle R|=\hat 1.$$

回答以下各题。

1. 对哈密顿算符

   $$\hat H_0=\varepsilon_L|L\rangle\langle L| +\varepsilon_R|R\rangle\langle R|,$$

   求其全部本征值和本征态。

2. 再加入相互作用

   $$\hat V=\Delta\left(|L\rangle\langle R|+|R\rangle\langle L|\right), \qquad \hat H=\hat H_0+\hat V.$$

   在基底 $\{|L\rangle,|R\rangle\}$ 下写出 $\hat H$ 的矩阵表示。

3. 求第 2 问所得哈密顿矩阵的本征值。

4. 以下令 $\varepsilon_L=\varepsilon_R=\varepsilon$。求 $\hat H$ 每个本征值对应的归一化本征态，并用狄拉克符号表示。

5. 定义

   $$\hat X=|R\rangle\langle R|-|L\rangle\langle L|,\qquad \hat Y=|L\rangle\langle R|+|R\rangle\langle L|,$$

   以及 $\hat Z=-\dfrac{i}{2}[\hat X,\hat Y]$。分别求 $\hat Z$、$[\hat Y,\hat Z]$ 和 $[\hat Z,\hat X]$，其中 $i$ 为虚数单位。

6. 求该系统的时间演化算符 $\exp(-i\hat Ht/\hbar)$，其中 $t$ 为时间，$\hbar=h/(2\pi)$。

7. 若系统从初态 $|\psi(0)\rangle=|L\rangle$ 开始演化，求时刻 $t$ 的状态 $|\psi(t)\rangle$。

8. 对第 7 问的状态，分别求时刻 $t$ 测得 $|L\rangle$ 和 $|R\rangle$ 的概率 $P_L(t),P_R(t)$。

9. 以 $t$ 为横轴，画出 $P_L(t)$ 与 $P_R(t)$ 的函数图像。

考点

• 泡利矩阵：第 5 问把二能级基底上的 $\hat X,\hat Y,\hat Z$ 视为泡利算符，要求验证其循环对易关系。
• 二能级隧穿与拉比振荡：非对角耦合 $\Delta$ 使 $|L\rangle,|R\rangle$ 混合，并导致两个占据概率随时间周期性交替。
• 二能级系统的时间演化：需利用 $\hat Y^2=\hat 1$ 展开矩阵指数，再作用于给定初态以得到状态和测量概率。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \hat{H}_0 | L \rangle = \varepsilon_L | L \rangle , \ \ \hat{H}_0 | R \rangle = \varepsilon_R | R \rangle \end{aligned}$$

なので、 $\hat{H}_0$ の固有値は $\varepsilon_L, \varepsilon_R$ で、 それぞれに属する固有ベクトルは、 $| L \rangle, | R \rangle$ である。 （ $| L \rangle, | R \rangle$ で張られる2次元ベクトル空間を考えているので、これら以外にはない。）

(2)

$$\begin{aligned} H &= \begin{pmatrix} \varepsilon_L & \Delta \\ \Delta & \varepsilon_R \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(3)

$H$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} \varepsilon_L - \lambda & \Delta \\ \Delta & \varepsilon_R - \lambda \end{pmatrix} \\ &= \lambda^2 - (\varepsilon_L + \varepsilon_R) \lambda + \varepsilon_L \varepsilon_R - \Delta^2 \\ \therefore \ \ \lambda &= \frac{ \varepsilon_L + \varepsilon_R \pm \sqrt{ (\varepsilon_L - \varepsilon_R )^2 + 4 \Delta^2}}{2} \end{aligned}$$

(4)

(2), (3) の結果は、 $\varepsilon_L = \varepsilon_R = \varepsilon$ とすると、 次のようになる：

$$\begin{aligned} H &= \begin{pmatrix} \varepsilon & \Delta \\ \Delta & \varepsilon \end{pmatrix} \\ \lambda &= \varepsilon \pm \Delta \end{aligned}$$

$\Delta \ne 0$ を仮定する。 $H$ の固有値 $\varepsilon + \Delta$ に属する固有ベクトルを求めるために

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \varepsilon & \Delta \\ \Delta & \varepsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (\varepsilon + \Delta) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $x=y$ がわかり、 $H$ の固有値 $\varepsilon - \Delta$ に属する固有ベクトルを求めるために

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \varepsilon & \Delta \\ \Delta & \varepsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (\varepsilon - \Delta) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $x+y=0$ がわかる。 よって、 $\hat{H}$ の固有値 $\varepsilon + \Delta, \varepsilon - \Delta$ に属する規格化された固有ベクトルは、それぞれ、

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} ( | L \rangle + | R \rangle ) , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} ( | L \rangle - | R \rangle ) \end{aligned}$$

と選べる。

(5)

$$\begin{aligned} \hat{Z} &= i | L \rangle \langle R | - i | R \rangle \langle L | \\ \left[ \hat{Y}, \hat{Z} \right] &= 2i \left( - | L \rangle \langle L | + | R \rangle \langle R | \right) \\ &= 2i \hat{X} \\ \left[ \hat{Z}, \hat{X} \right] &= 2i \left( | L \rangle \langle R | + | R \rangle \langle L | \right) \\ &= 2i \hat{Y} \end{aligned}$$

(6)

$\hat{H} = \varepsilon \hat{1} + \Delta \hat{Y}$ であり、 $\hat{1}$ と $\hat{Y}$ は可換であるから、

$$\begin{aligned} e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} t} &= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t} e^{- \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{Y}} \end{aligned}$$

であり、さらに $\hat{Y}^2 = \hat{1}$ であるから、

$$\begin{aligned} e^{- \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{Y}} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left( - \frac{i}{\hbar} \Delta t \right)^n \hat{Y}^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right)^{2n} \hat{1} - i \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right)^{2n+1} \hat{Y} \\ &= \cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{1} - i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{Y} \end{aligned}$$

であるので、次を得る：

$$\begin{aligned} e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} t} &= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t} \left( \cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{1} - i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{Y} \right) \end{aligned}$$

(7)

$$\begin{aligned} | \psi (t) \rangle &= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t} \left( \cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{1} - i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{Y} \right) | L \rangle \\ &= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t} \left( \cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) | L \rangle - i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) | R \rangle \right) \end{aligned}$$

(8)

$$\begin{aligned} P_L(t) &= \left| \langle L | \psi (t) \rangle \right|^2 = \cos^2 \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \\ P_R(t) &= \left| \langle R | \psi (t) \rangle \right|^2 = \sin^2 \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \end{aligned}$$

(9)