早稲田大学 先進理工学研究科 物理学及応用物理学専攻 2022年8月実施 量子力学および熱・統計力学 問題5

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

なので、 の固有値は で、 それぞれに属する固有ベクトルは、 である。 （ で張られる2次元ベクトル空間を考えているので、これら以外にはない。）

(2)

(3)

の固有値を とすると、

(4)

(2), (3) の結果は、 とすると、 次のようになる：

を仮定する。 の固有値 に属する固有ベクトルを求めるために

とおくと がわかり、 の固有値 に属する固有ベクトルを求めるために

とおくと がわかる。 よって、 の固有値 に属する規格化された固有ベクトルは、それぞれ、

と選べる。

(5)

(6)

であり、 と は可換であるから、

であり、さらに であるから、

であるので、次を得る：

(7)

(8)

(9)