早稲田大学 先進理工学研究科 物理学及応用物理学専攻 2022年8月実施 力学および電磁力学 問題3

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• Angular-Momentum-Conservation-and-Areal-Velocity
• Two-Body-Central-Force-and-Effective-Potential

Author

Miyake

Description

問題の要旨（日本語）

問題の要約

1. 原点からの中心力だけを受ける質点について、位置 $\boldsymbol r$ と運動量 $\boldsymbol p$ から角運動量保存を示す。
2. 同じ運動の面積速度が一定であることを導く。
3. 万有引力だけで相互作用する二質点 A、B の原点まわりの全角運動量が保存されることを示す。
4. 質量を $M,m$、相対位置を $\boldsymbol r=\boldsymbol r_B-\boldsymbol r_A$、A が B に及ぼす力を $\boldsymbol F$ とし、相対運動の方程式とその解釈を述べる。
5. A を原点に固定する。B の半径 $r$、動径速度 $v_r$、角運動量の大きさ $l$ を使って全エネルギーを表す（万有引力定数 $G$ ）。
6. 動径運動の運動エネルギー以外を $V(r)$ とし、概形、最小値 $V_m$、その位置 $r_m$ を求める。
7. 全エネルギーによって場合分けし、動径運動の特徴を説明する。

公式の試験問題

题目描述

回答以下各题。

1. 一个质点位于位置 $\boldsymbol r$，动量为 $\boldsymbol p$，所受的力只有以原点 $O$ 为力心的中心力。证明该质点关于原点的角动量守恒。
2. 在第 1 问的情形下，证明原点与质点之间的连线所扫过的面积速度为常量。
3. 空间中只有可视为质点的物体 A、B，位置分别为 $\boldsymbol r_A,\boldsymbol r_B$，动量分别为 $\boldsymbol p_A,\boldsymbol p_B$，关于原点的角动量分别为 $\boldsymbol l_A,\boldsymbol l_B$。若两物体只受彼此之间的万有引力，证明总角动量 $\boldsymbol l_A+\boldsymbol l_B$ 守恒。
4. 在第 3 问中，令 B 相对于 A 的位置为 $\boldsymbol r=\boldsymbol r_B-\boldsymbol r_A$，A 对 B 的引力为 $\boldsymbol F$，A、B 的质量分别为 $M,m$。用 $\boldsymbol r,\boldsymbol F,M,m$ 写出相对运动方程，并说明该方程表明的等效单质点运动。
5. 现将 A 固定在原点，并以 A 为中心用极坐标表示 B 的位置。设 B 的径向坐标为 $r$、速度的径向分量为 $v_r$、关于 A 的角动量大小为 $l$；B 仍只受 A 的引力，万有引力常数为 $G$。用 $r,v_r,l,M,m$ 表示 B 的总机械能 $E$。
6. 把第 5 问总能量中除径向动能以外的部分视为径向运动的有效势能 $V(r)$。画出 $V(r)$ 的大致形状，并用 $l,M,m,G$ 求其最小值 $V_m$ 及达到最小值时的半径 $r_m$。
7. 根据第 6 问的有效势能，按总能量 $E$ 的不同取值分类说明 B 的运动特征，尤其说明径向运动是可能、不可能、有界还是无界，以及临界情形对应的轨道。

Kai

時刻を $t$ で表し、時間微分を $d/dt$ や $\dot{}$ で表す。

(1)

質点にはたらく力を $\boldsymbol{f}$ とすると、 運動方程式 $\dot{\boldsymbol{p}} = \boldsymbol{f}$ が成り立ち、また、 中心力であることから $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$ が成り立つ。

さらに、速度 $\dot{\boldsymbol{r}}$ と運動量 $\boldsymbol{p}$ は平行なので、 $\dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{p} = \boldsymbol{0}$ が成り立つ。

よって、質点の角運動量 $\boldsymbol{l} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$ の時間微分は

$$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{l}} &= \dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{p} + \boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{p}} \\ &= \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

となり、 $\boldsymbol{l}$ は保存することがわかる。

(2)

質点の質量を $m$ とすると $\boldsymbol{p} = m \dot{\boldsymbol{r}}$ である。

微小な時間 $\Delta t$ の間の質点の位置の変化は $\dot{\boldsymbol{r}} \Delta t$ であるので、 この間に原点と質点の位置を結ぶ線分が掃過する面積のベクトル $\Delta \boldsymbol{S}$ （その大きさが面積で、向きは $\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}$ に直交し、 $\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, \Delta \boldsymbol{S}$ が右手系をなす）は

$$\begin{aligned} \Delta \boldsymbol{S} &= \frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \left( \boldsymbol{r} + \dot{\boldsymbol{r}} \Delta t \right) \\ &= \frac{\Delta t}{2m} \boldsymbol{l} \end{aligned}$$

となる。

(1) より $\boldsymbol{l}$ は保存するので、 $\Delta \boldsymbol{S} / \Delta t$ が保存することがわかり、 これは面積速度が一定であることを意味する。

(3)

物体 A が B におよぼす重力を $\boldsymbol{f}$ とすると、 B が A におよぼす重力は $- \boldsymbol{f}$ であり、 $(\boldsymbol{r}_B - \boldsymbol{r}_A) \times \boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$ が成り立つ。

また、A, B それぞれの運動方程式は

$$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{p}}_A = - \boldsymbol{f} , \ \ \dot{\boldsymbol{p}}_B = \boldsymbol{f} \end{aligned}$$

である。

よって、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} \left( \boldsymbol{l}_A + \boldsymbol{l}_B \right) &= \frac{d}{dt} \left( \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{p}_A + \boldsymbol{r}_B \times \boldsymbol{p}_B \right) \\ &= \dot{\boldsymbol{r}}_A \times \boldsymbol{p}_A + \boldsymbol{r}_A \times \dot{\boldsymbol{p}}_A + \dot{\boldsymbol{r}}_B \times \boldsymbol{p}_B + \boldsymbol{r}_B \times \dot{\boldsymbol{p}}_B \\ &= \left( \boldsymbol{r}_B - \boldsymbol{r}_A \right) \times \boldsymbol{f} \\ &= \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

となるので、 $\boldsymbol{l}_A + \boldsymbol{l}_B$ は保存されることがわかる。

(4)

A, B それぞれの運動方程式は

$$\begin{aligned} M \ddot{\boldsymbol{r}}_A = - \boldsymbol{F} , \ \ m \ddot{\boldsymbol{r}}_B = \boldsymbol{F} \end{aligned}$$

なので、 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_B - \boldsymbol{r}_A$ について、

$$\begin{aligned} \ddot{\boldsymbol{r}} &= \ddot{\boldsymbol{r}}_B - \ddot{\boldsymbol{r}}_A \\ &= \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right) \boldsymbol{F} \\ \therefore \ \ \frac{1}{ \frac{1}{m} + \frac{1}{M} } \ddot{\boldsymbol{r}} &= \boldsymbol{F} \end{aligned}$$

が成り立つ。 これは、質量 $1/((1/m)+(1/M))$ 力 $\boldsymbol{F}$ の1つの質点の運動方程式と同じである。

(5)

速度の動径方向に垂直な成分は $l/(mr)$ であるので、 力学的エネルギーの総和 $E$ は

$$\begin{aligned} E &= \frac{1}{2} m \left( v_r^2 + \left( \frac{l}{mr} \right)^2 \right) - \frac{GmM}{r} \\ &= \frac{1}{2} m v_r^2 + \frac{l^2}{2mr^2} - \frac{GmM}{r} \end{aligned}$$

である。 （重力のポテンシャルエネルギーは $r \to \infty$ で $0$ とした。）

(6)

以下の最小値および (7) の軌道の分類では $l>0$ とする。 (5) より

$$\begin{aligned} V(r) &= \frac{l^2}{2mr^2} - \frac{GmM}{r} \\ \frac{dV(r)}{dr} &= - \frac{l^2}{mr^3} + \frac{GmM}{r^2} \\ &= \frac{- l^2 + Gm^2Mr}{mr^3} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} r_m &= \frac{l^2}{Gm^2M} \\ V_m &= V(r_m) \\ &= - \frac{G^2m^3M^2}{2l^2} \end{aligned}$$

を得る。

(7)

(i) $E \lt V_m$ であるような運動はありえない。

(ii) $E = V_m$ のときは、 $r$ は一定 $r_m$ であり、円運動である。

(iii) $V_m \lt E \lt 0$ のときは、 $r$ に関して有界な運動であり、軌道は楕円である。

(iv) $E=0$ では放物線軌道、 $E>0$ では双曲線軌道となり、どちらも $r$ に関して非有界である。

なお $l=0$ の場合は純粋な動径運動となり、 $V(r)=-GmM/r$ は $r\to0^+$ で $-\infty$ となるため有限の最小値を持たない。 $E<0$ では外側の転回点があるが、内側の遠心力障壁はなく、原点での衝突を除外して上の円・楕円軌道の議論をそのまま適用することはできない。