早稲田大学 先進理工学研究科 物理学及応用物理学専攻 2022年8月実施 数学一般 問題1

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Author

Miyake

Description

题目描述

回答以下各题。

1. 函数 $y(t)$ 满足

   $$\frac{d^2y}{dt^2}+4\frac{dy}{dt}+4y=e^t,$$

   且初始条件为 $y(0)=0$、$\left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=0}=1$。求 $y(t)$。

2. 在区间 $-1\leq x\leq1$ 上令 $f(x)=x^2$。对非负整数 $n$ 定义

   $$a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\qquad b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.$$

   具体计算 $a_n,b_n$，其中 $a_n$ 需区分 $n=0$ 与 $n\neq0$。再利用

   $$f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\right]$$

   求无穷级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$。

3. 二元函数 $u(x,y)$ 满足偏微分方程

   $$2y\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=1.$$

   用一个任意函数表示该方程的通解。

4. 对正数 $x,y$，贝塔函数定义为

   $$B(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.$$

   对正整数 $n$，用贝塔函数表示积分

   $$I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,d\theta.$$

5. 对正整数 $n$ 和实数 $x$，厄米多项式定义为

   $$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.$$

   直接利用该定义，将导数 $H_n'(x)$ 用 $H_{n-1}(x)$ 表示。

考点

• 二阶线性常微分方程：第 1 题需处理重特征根对应的齐次解、指数型非齐次项的特解，并用两个初始条件确定常数。
• 傅里叶级数：第 2 题利用 $x^2$ 的奇偶性计算正弦、余弦系数，并写出其在 $[-1,1]$ 上的傅里叶展开。
• 由傅里叶级数求无穷级数：把适当端点代入 $x^2$ 的展开式，即可把系数关系转化为 $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2$ 的求和公式。

Kai

(1)

与えられた微分方程式の右辺を $0$ とした方程式に $y = e^{\lambda t}$ （ $\lambda$ は $t$ によらない定数）を代入すると、 $(\lambda + 2)^2 = 0$ を得るので、 この微分方程式の一般解は、積分定数を $A, B$ として、

$$\begin{aligned} y(t) = (A+Bt) e^{-2t} \end{aligned}$$

である。 与えられた微分方程式に $y = C e^t$ （ $C$ は $t$ によらない定数）を代入すると、 $C = 1/9$ を得るので、 $y(t) = (1/9) e^t$ は特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を $A, B$ として、

$$\begin{aligned} y(t) = (A+Bt) e^{-2t} + \frac{1}{9} e^t \end{aligned}$$

である。

[参考] 千葉逸人「工学部で学ぶ数学」

(2)

(i) まず、被積分関数が $0$ になるので $b_0=0$ であり、 被積分関数が奇関数になるので $n = 1, 2, \cdots$ について $b_n=0$ である。 次に、

$$\begin{aligned} a_0 &= \int_{-1}^1 x^2 \ dx = \frac{2}{3} \end{aligned}$$

また、 $n = 1, 2, \cdots$ について

$$\begin{aligned} a_n &= \int_{-1}^1 x^2 \cos (n \pi x) dx \\ &= \frac{1}{n \pi} \left[ x^2 \sin (n \pi x) \right]_{-1}^1 - \frac{2}{n \pi} \int_{-1}^1 x \sin (n \pi x) dx \\ &= - \frac{2}{n^2 \pi^2} \left[ x \cos (n \pi x) \right]_{-1}^1 + \frac{2}{n^2 \pi^2} \int_{-1}^1 \cos (n \pi x) dx \\ &= \frac{4 \cdot (-1)^n}{n^2 \pi^2} \end{aligned}$$

(ii) 今の場合のフーリエ級数展開の式は

$$\begin{aligned} x^2 = \frac{1}{3} + \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos (n \pi x) \end{aligned}$$

となるので、 $x=1$ として、

$$\begin{aligned} 1 &= \frac{1}{3} + \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \\ \therefore \ \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6} \end{aligned}$$

を得る。

(3)

(4)

(5)

寺沢寛一「自然科学者のための数学概論 増訂版」 p.145