宇都宮大学 地域創生科学研究科 工農総合科学専攻 機械知能工学プログラム 2022年8月実施 第1期 機械力学と制御

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• 哈密顿原理与欧拉–拉格朗日方程

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

右図のように、長さ $l_1$ の質量を無視できる軽い棒の上端を支持し、下端に質量 $m_1$ の重りをつけ、さらにその下端に質量 $m_2$ の重りがついた長さ $l_2$ の質量を無視できる軽い棒が連結された2自由度系を考える。重力加速度を $g$ とし、一般化座標を $\theta_1,\theta_2$ としたとき、以下の問いに答えよ。

(1) 質量 $m_1$ の重りの直交座標を $\boldsymbol p_1=(x_1,y_1)$、質量 $m_2$ の重りの直交座標を $\boldsymbol p_2=(x_2,y_2)$ とする。$\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2$ を一般化座標を用いて表せ。

(2) 質量 $m_1$ の重りと質量 $m_2$ の重りの運動エネルギーをそれぞれ $T_1,T_2$ とする。$T_1,T_2$ を一般化座標を用いて表せ。

(3) 質量 $m_1$ の重りと質量 $m_2$ の重りの重力による位置エネルギーをそれぞれ $U_1,U_2$ とする。$U_1,U_2$ を一般化座標を用いて表せ。ただし、重力による位置エネルギーは、$x$ 軸を基準とする。

(4) ラグランジアン $L$ を $T_1,T_2,U_1,U_2$ を用いて表せ。

(5) 次のオイラー・ラグランジュ方程式を、$\theta_1$ と $\theta_2$ に関する2階常微分方程式として表せ。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta_1}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta_1}=0$$

ただし、$\dot\theta_1=\dfrac{d\theta_1}{dt}$ とする。

(6) 次のオイラー・ラグランジュ方程式を、$\theta_1$ と $\theta_2$ に関する2階常微分方程式として表せ。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta_2}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta_2}=0$$

ただし、$\dot\theta_2=\dfrac{d\theta_2}{dt}$ とする。

题目描述

如图，将一根质量可忽略、长为 $l_1$ 的轻杆上端支承，在其下端连接质量为 $m_1$ 的重物。再连接一根质量可忽略、长为 $l_2$、下端带有质量为 $m_2$ 重物的轻杆，构成二自由度系统。重力加速度为 $g$，一般化坐标取 $\theta_1,\theta_2$，回答以下问题。

(1) 质量为 $m_1$ 的重物的直角坐标记为 $\boldsymbol p_1=(x_1,y_1)$，质量为 $m_2$ 的重物的直角坐标记为 $\boldsymbol p_2=(x_2,y_2)$。用一般化坐标表示 $\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2$。

(2) 两个重物的动能分别记为 $T_1,T_2$，用一般化坐标表示 $T_1,T_2$。

(3) 两个重物的重力势能分别记为 $U_1,U_2$，用一般化坐标表示 $U_1,U_2$。重力势能以 $x$ 轴为零势能基准。

(4) 用 $T_1,T_2,U_1,U_2$ 表示拉格朗日量 $L$。

(5) 将下列欧拉–拉格朗日方程写成关于 $\theta_1,\theta_2$ 的二阶常微分方程。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta_1}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta_1}=0$$

其中 $\dot\theta_1=\dfrac{d\theta_1}{dt}$。

(6) 将下列欧拉–拉格朗日方程写成关于 $\theta_1,\theta_2$ 的二阶常微分方程。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta_2}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta_2}=0$$

其中 $\dot\theta_2=\dfrac{d\theta_2}{dt}$。

Kai

以下、$\delta=\theta_1-\theta_2$ とおく。

(1)

$y$ 軸が上向きであることに注意すると

$$\boxed{\boldsymbol p_1=(l_1\sin\theta_1,-l_1\cos\theta_1)},$$

$$\boxed{\boldsymbol p_2=(l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2, -l_1\cos\theta_1-l_2\cos\theta_2)}.$$

(2)

位置を時間微分し、$T_i=m_i|\dot{\boldsymbol p}_i|^2/2$ を用いる。

$$\boxed{T_1=\frac12m_1l_1^2\dot\theta_1^2},$$

$$\boxed{T_2=\frac12m_2\left(l_1^2\dot\theta_1^2+l_2^2\dot\theta_2^2 +2l_1l_2\dot\theta_1\dot\theta_2\cos\delta\right)}.$$

交差項には $\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2 =\cos(\theta_1-\theta_2)$ を用いた。

(3)

$U_i=m_igy_i$ なので

$$\boxed{U_1=-m_1gl_1\cos\theta_1},\qquad \boxed{U_2=-m_2g(l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2)}.$$

(4)

$$\boxed{L=T_1+T_2-U_1-U_2}.$$

すなわち

$$\begin{aligned} L={}&\frac12(m_1+m_2)l_1^2\dot\theta_1^2 +\frac12m_2l_2^2\dot\theta_2^2 +m_2l_1l_2\dot\theta_1\dot\theta_2\cos\delta\\ &+(m_1+m_2)gl_1\cos\theta_1+m_2gl_2\cos\theta_2. \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} \frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta_1} ={}&(m_1+m_2)l_1^2\ddot\theta_1 +m_2l_1l_2\ddot\theta_2\cos\delta\\ &-m_2l_1l_2\dot\theta_2(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin\delta,\\ \frac{\partial L}{\partial\theta_1} ={}&-m_2l_1l_2\dot\theta_1\dot\theta_2\sin\delta -(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1. \end{aligned}$$

差を取ると

$$\boxed{\begin{aligned}&(m_1+m_2)l_1^2\ddot\theta_1 +m_2l_1l_2\ddot\theta_2\cos\delta\\ &\quad+m_2l_1l_2\dot\theta_2^2\sin\delta +(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1=0 \end{aligned}}.$$

(6)

$$\begin{aligned} \frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta_2} ={}&m_2l_2^2\ddot\theta_2+m_2l_1l_2\ddot\theta_1\cos\delta\\ &-m_2l_1l_2\dot\theta_1(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin\delta,\\ \frac{\partial L}{\partial\theta_2} ={}&m_2l_1l_2\dot\theta_1\dot\theta_2\sin\delta-m_2gl_2\sin\theta_2. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{m_2l_2^2\ddot\theta_2+m_2l_1l_2\ddot\theta_1\cos\delta -m_2l_1l_2\dot\theta_1^2\sin\delta+m_2gl_2\sin\theta_2=0}.$$

Reference

• 宇都宮大学公式問題（PDF 4頁）
• Miyake：参考解答