宇都宮大学 地域創生科学研究科 社会デザイン科学専攻 土木工学プログラム 2022年8月実施 第1期 土木工学基礎 問4

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

自然長 $L$，バネ定数 $k$ のバネに質量 $m$ の物体をつるすとバネはある長さだけ伸びて静止する（つり合いの位置）。その後，その位置からこの物体をさらに少しだけ下に引き，静かに物体を放すと，つり合いの位置のまわりに上下の微小振動が生じる。その際の物体の運動方程式を求め，その一般解より角振動数 $\omega$ と周期 $T$ を求めよ。

なお，バネの重量は無視し，重力加速度は $g$ とする。

题目描述

在自然长度为 $L$、弹簧常数为 $k$ 的弹簧上悬挂质量为 $m$ 的物体，弹簧伸长一定长度后静止，此处为平衡位置。随后将物体从该位置向下稍微拉动，再静止释放，物体便在平衡位置附近作上下微小振动。求此时物体的运动方程，并由其通解求角频率 $\omega$ 和周期 $T$。

忽略弹簧的重量，重力加速度为 $g$。

Kai

つり合いでの伸びを $d$ とすると $kd=mg$。つり合い位置を原点、下向きを正として変位を $x$ とすれば

$$\begin{gathered} m\ddot x=mg-k(d+x)=-kx,\\ \boxed{m\ddot x+kx=0}. \end{gathered}$$

一般解は

$$x(t)=A\cos\left(\sqrt{\frac km}\,t\right) +B\sin\left(\sqrt{\frac km}\,t\right).$$

したがって

$$\boxed{\omega=\sqrt{\frac km}},\qquad \boxed{T=2\pi\sqrt{\frac mk}}.$$

初期変位を $x_0$、初速度を $0$ とすれば $A=x_0,\ B=0$ となる。

Reference

• 宇都宮大学公式問題（PDF 6頁）
• Miyake：参考解答