宇都宮大学地域創生科学研究科社会デザイン科学専攻土木工学プログラム 2023年度第1期土木工学基礎問4

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

自然長 $L$ 、ばね定数 $k$ の軽いばねに質量 $m$ の物体をつるす。つり合い位置から物体を少し下方に引き、静かに放す。微小な上下振動の運動方程式を求め、その一般解から角振動数 $\omega$ と周期 $T$ を求めよ。重力加速度を $g$ とする。

在自然长 $L$ 、劲度系数 $k$ 的轻弹簧下悬挂质量 $m$ 的物体。从平衡位置向下轻拉后静止释放。写出微小振动方程，并由通解求角频率 $\omega$ 与周期 $T$ 。重力加速度为 $g$ 。

つり合いでの伸びを $d$ とすると $kd=mg$ 。つり合い位置を原点、下向きを正として変位を $x$ とすれば

m\ddot x=mg-k(d+x)=-kx, \qquad\boxed{m\ddot x+kx=0}.

一般解は

x(t)=A\cos\left(\sqrt{\frac km}\,t\right) +B\sin\left(\sqrt{\frac km}\,t\right).

したがって

\boxed{\omega=\sqrt{\frac km}},\qquad \boxed{T=2\pi\sqrt{\frac mk}}.

初期変位を $x_0$ 、初速度を $0$ とすれば $A=x_0,\ B=0$ となる。