宇都宮大学地域創生科学研究科社会デザイン科学専攻土木工学プログラム 2022年8月実施第1期土木工学基礎問2

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

次の行列 $A$ について，以下の問いに答えなさい。

A=\begin{pmatrix}0&2&2\\1&1&1\\3&-3&1\end{pmatrix}

(1) 行列 $A$ の逆行列を求めなさい。

(2) 行列 $A$ の固有値を求めなさい。

对于以下矩阵 $A$ ，回答问题。

A=\begin{pmatrix}0&2&2\\1&1&1\\3&-3&1\end{pmatrix}

(1) 求矩阵 $A$ 的逆矩阵。

(2) 求矩阵 $A$ 的特征值。

$\det A=-8$ 、余因子の転置行列は

\operatorname{adj}A=\begin{pmatrix}4&-8&0\\2&-6&2\\-6&6&-2\end{pmatrix}.

したがって

\boxed{A^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}-2&4&0\\-1&3&-1\\3&-3&1\end{pmatrix}}.

\begin{gathered} \det(\lambda I-A)=\lambda^3-2\lambda^2-4\lambda+8\\ =(\lambda+2)(\lambda-2)^2. \end{gathered}

よって固有値は $\boxed{-2,\ 2}$ であり、 $2$ の代数的重複度は $2$ 。