宇都宮大学地域創生科学研究科社会デザイン科学専攻土木工学プログラム 2023年度第1期土木工学基礎問1

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

(1) $y=x\sqrt{x}$ を $x$ で微分せよ。

(2) 不定積分 $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$ を求めよ。

(1) 对 $y=x\sqrt{x}$ 求导；(2) 求不定积分 $\int(2x-x^2)^{-1/2}\,dx$ 。

$y=x^{3/2}$ より $\boxed{dy/dx=\frac32\sqrt{x}}$ 。

実数範囲では $0<x<2$ 。 $2x-x^2=1-(x-1)^2$ なので、 $u=x-1$ と置換すれば

\int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} =\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}} =\boxed{\arcsin(x-1)+C}.