宇都宮大学地域創生科学研究科社会デザイン科学専攻土木工学プログラム 2022年8月実施第1期土木工学基礎問1

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

(1) 次の関数を $x$ で微分しなさい。

y=x\sqrt{x}

(2) 次の不定積分を求めなさい。

\int\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}\,dx

(1) 对以下函数关于 $x$ 求导：

y=x\sqrt{x}.

(2) 求以下不定积分：

\int\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}\,dx.

$y=x^{3/2}$ より $\boxed{dy/dx=\frac32\sqrt{x}}$ 。

実数範囲では $0<x<2$ 。 $2x-x^2=1-(x-1)^2$ なので、 $u=x-1$ と置換すれば

\begin{gathered} \int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} =\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\\ =\boxed{\arcsin(x-1)+C}. \end{gathered}