筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 情報理工学位プログラム 問題例 線形代数

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• 筑波大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

行列 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ について、以下の (a)～(e) を選択肢から選べ。

問1 $A$ の固有値は $\lambda_1=(a)$ と $\lambda_2=(b)$ である。ただし $\lambda_1>\lambda_2$ とする。

問2 直交行列

$$X=\frac1{\sqrt{(c)}}\begin{pmatrix}1&1\\(d)&(e)\end{pmatrix}$$

を用いて、$X^{\mathsf T}AX=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$ と対角化できる。

選択肢（複数回使用可）：① $1$、② $2$、③ $3$、④ $4$、⑤ $5$、⑥ $-1$、⑦ $-2$、⑧ $-3$、⑨ $-4$、⑩ $-5$。

题目描述

对于矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$，求按大小排列的两个特征值 $\lambda_1>\lambda_2$，并补全上述正交矩阵 $X$ 中的 (c)、(d)、(e)，使 $X^{\mathsf T}AX=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$。各空从日文题面的十个数值中选择，允许重复。

Kai

問1

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)^2-4=(\lambda-3)(\lambda+1).$$

したがって、$\boxed{(a)=3\text{（③）},\ (b)=-1\text{（⑥）}}$。

問2

固有値 $3,-1$ に対応する単位固有ベクトルは、それぞれ $\frac1{\sqrt2}(1,1)^{\mathsf T}$、$\frac1{\sqrt2}(1,-1)^{\mathsf T}$ である。よって、

$$X=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad \boxed{(c)=2\text{（②）},\ (d)=1\text{（①）},\ (e)=-1\text{（⑥）}}.$$

Reference

• 大学公式問題（PDF 2ページ）
• Miyake：対応する解答