筑波大学理工情報生命学術院システム情報工学研究群情報理工学位プログラム問題例線形代数

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

行列 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ について，以下の (a) から (e) を選択肢から選びなさい。

問1 $A$ の固有値は $\lambda_1=(a)$ と $\lambda_2=(b)$ である（ただし $\lambda_1>\lambda_2$ ）。

問2 $A$ は直交行列

X=\frac{1}{\sqrt{(c)}}\begin{pmatrix}1&1\\(d)&(e)\end{pmatrix}

を用いて

X^{\mathsf T}AX=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}

と対角化できる。

選択肢（複数回使用しても良い。）

① $1$ 、② $2$ 、③ $3$ 、④ $4$ 、⑤ $5$ 、⑥ $-1$ 、⑦ $-2$ 、⑧ $-3$ 、⑨ $-4$ 、⑩ $-5$

对于矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ ，从选项中选择填入以下 (a) 至 (e) 的内容。

问1 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=(a)$ 、 $\lambda_2=(b)$ ，其中 $\lambda_1>\lambda_2$ 。

问2 利用正交矩阵

X=\frac{1}{\sqrt{(c)}}\begin{pmatrix}1&1\\(d)&(e)\end{pmatrix},

可以将 $A$ 对角化为

X^{\mathsf T}AX=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}.

选项（可以重复使用）：

① $1$ 、② $2$ 、③ $3$ 、④ $4$ 、⑤ $5$ 、⑥ $-1$ 、⑦ $-2$ 、⑧ $-3$ 、⑨ $-4$ 、⑩ $-5$

\begin{gathered} \det(\lambda I-A)=(\lambda-1)^2-4\\ =(\lambda-3)(\lambda+1). \end{gathered}

したがって、 $\boxed{(a)=3\text{（③）},\ (b)=-1\text{（⑥）}}$ 。

固有値 $3,-1$ に対応する単位固有ベクトルは、それぞれ $\frac1{\sqrt2}(1,1)^{\mathsf T}$ 、 $\frac1{\sqrt2}(1,-1)^{\mathsf T}$ である。よって、

\begin{gathered} X=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\\ \boxed{(c)=2\text{（②）},\ (d)=1\text{（①）},\ (e)=-1\text{（⑥）}}. \end{gathered}