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筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 情報理工学位プログラム 問題例 離散数学と論理

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

N5={0,1,2,3,4}\mathcal N_5=\{0,1,2,3,4\} とする。正の整数 nn に対して、関係

En={⟨x,y⟩∈N5×N5∣x mod n=y mod n}E_n=\{\langle x,y\rangle\in\mathcal N_5\times\mathcal N_5\mid x\bmod n=y\bmod n\}

を定める。ただし x mod nx\bmod n は xx を nn で割った余りである。

問1 E4={⟨0,0⟩,⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨3,3⟩,⟨4,4⟩,xx}E_4=\{\langle0,0\rangle,\langle1,1\rangle,\langle2,2\rangle,\langle3,3\rangle,\langle4,4\rangle,\boxed{\phantom{xx}}\} の空欄に入る要素を選べ。

① ⟨0,1⟩,⟨1,0⟩\langle0,1\rangle,\langle1,0\rangle　② ⟨1,3⟩,⟨3,1⟩\langle1,3\rangle,\langle3,1\rangle　③ ⟨2,4⟩,⟨4,2⟩\langle2,4\rangle,\langle4,2\rangle　④ ⟨0,4⟩,⟨4,0⟩\langle0,4\rangle,\langle4,0\rangle

問2 次の空欄 (a)～(c) を選択肢から選べ。

関係 RR が同値関係であるとき RR は反射的、(a)、推移的である。推移的であるとは、⟨x,y⟩, (b)∈R\langle x,y\rangle,\ (b)\in R ならば (c)∈R(c)\in R となることである。

① 対称的　② 反対称的　③ ⟨x,z⟩\langle x,z\rangle　④ ⟨y,x⟩\langle y,x\rangle　⑤ ⟨y,z⟩\langle y,z\rangle　⑥ ⟨z,x⟩\langle z,x\rangle

题目描述​

在集合 N5={0,1,2,3,4}\mathcal N_5=\{0,1,2,3,4\} 上，用除以正整数 nn 的余数相同定义关系 EnE_n。

  1. 除去五个对角有序对，求 E4E_4 的其余元素，并从日文题面的四组候选中选择。
  2. 从上述候选中补全等价关系的定义：等价关系具有自反性、(a) 和传递性；若 ⟨x,y⟩,(b)∈R\langle x,y\rangle,(b)\in R，则 (c)∈R(c)\in R。

Kai​

問1​

異なる要素で 44 で割った余りが等しいのは 00 と 44 だけである。したがって、空欄は

⟨0,4⟩, ⟨4,0⟩（④）.\boxed{\langle0,4\rangle,\ \langle4,0\rangle\quad\text{（④）}}.

問2​

同値関係の三条件は反射律・対称律・推移律である。推移律は xRyxRy かつ yRzyRz から xRzxRz が従うことであるから、

(a)=対称的（①）,(b)=⟨y,z⟩（⑤）,(c)=⟨x,z⟩（③）.\boxed{(a)=\text{対称的（①）},\quad(b)=\langle y,z\rangle\text{（⑤）},\quad(c)=\langle x,z\rangle\text{（③）}}.

Reference​

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