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筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 情報理工学位プログラム 問題例 離散数学と論理

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

N5={0,1,2,3,4}\mathcal N_5=\{0,1,2,3,4\} とする。また，正の整数 nn に対して，関係

En={⟨x,y⟩∈N5×N5∣x mod n=y mod n}E_n=\{\langle x,y\rangle\in\mathcal N_5\times\mathcal N_5\mid x\bmod n=y\bmod n\}

とする。但し，x mod nx\bmod n は xx を nn で割った余りである。このとき以下の設問に答えなさい。

問1

E4={⟨0,0⟩,⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨3,3⟩,⟨4,4⟩,xxxxxxxx}\begin{aligned} E_4=\{&\langle0,0\rangle,\langle1,1\rangle,\langle2,2\rangle,\\ &\langle3,3\rangle,\langle4,4\rangle,\boxed{\phantom{xxxxxxxx}}\} \end{aligned}

空欄に入る適切な要素の番号を選択肢から選びなさい。

選択肢：

① ⟨0,1⟩,⟨1,0⟩\langle0,1\rangle,\langle1,0\rangle　② ⟨1,3⟩,⟨3,1⟩\langle1,3\rangle,\langle3,1\rangle　③ ⟨2,4⟩,⟨4,2⟩\langle2,4\rangle,\langle4,2\rangle　④ ⟨0,4⟩,⟨4,0⟩\langle0,4\rangle,\langle4,0\rangle

問2 空欄に入る適切な語句の番号を選択肢から選びなさい。

関係 RR が同値関係である時 RR は反射的，【(a)】，推移的である。推移的であるとは，⟨x,y⟩\langle x,y\rangle，【(b)】∈R\in R ならば【(c)】∈R\in R となることである。

選択肢：

① 対称的　② 反対称的　③ ⟨x,z⟩\langle x,z\rangle　④ ⟨y,x⟩\langle y,x\rangle　⑤ ⟨y,z⟩\langle y,z\rangle　⑥ ⟨z,x⟩\langle z,x\rangle

题目描述​

设 N5={0,1,2,3,4}\mathcal N_5=\{0,1,2,3,4\}。对于正整数 nn，定义关系

En={⟨x,y⟩∈N5×N5∣x mod n=y mod n},E_n=\{\langle x,y\rangle\in\mathcal N_5\times\mathcal N_5\mid x\bmod n=y\bmod n\},

其中 x mod nx\bmod n 为 xx 除以 nn 的余数。回答以下问题。

问1

E4={⟨0,0⟩,⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨3,3⟩,⟨4,4⟩,xxxxxxxx}.\begin{aligned} E_4=\{&\langle0,0\rangle,\langle1,1\rangle,\langle2,2\rangle,\\ &\langle3,3\rangle,\langle4,4\rangle,\boxed{\phantom{xxxxxxxx}}\}. \end{aligned}

从选项中选择应填入空栏的元素组的编号。

选项：

① ⟨0,1⟩,⟨1,0⟩\langle0,1\rangle,\langle1,0\rangle　② ⟨1,3⟩,⟨3,1⟩\langle1,3\rangle,\langle3,1\rangle　③ ⟨2,4⟩,⟨4,2⟩\langle2,4\rangle,\langle4,2\rangle　④ ⟨0,4⟩,⟨4,0⟩\langle0,4\rangle,\langle4,0\rangle

问2 从选项中选择应填入空栏的词语或表达式的编号。

关系 RR 为等价关系时，RR 具有自反性、【(a)】和传递性。传递性是指：若 ⟨x,y⟩\langle x,y\rangle、【(b)】∈R\in R，则【(c)】∈R\in R。

选项：

① 对称性　② 反对称性　③ ⟨x,z⟩\langle x,z\rangle　④ ⟨y,x⟩\langle y,x\rangle　⑤ ⟨y,z⟩\langle y,z\rangle　⑥ ⟨z,x⟩\langle z,x\rangle

Kai​

問1​

異なる要素で 44 で割った余りが等しいのは 00 と 44 だけである。したがって、空欄は

⟨0,4⟩, ⟨4,0⟩（④）.\boxed{\langle0,4\rangle,\ \langle4,0\rangle\quad\text{（④）}}.

問2​

同値関係の三条件は反射律・対称律・推移律である。推移律は xRyxRy かつ yRzyRz から xRzxRz が従うことであるから、

(a)=対称的（①）,(b)=⟨y,z⟩（⑤）,(c)=⟨x,z⟩（③）.\boxed{\begin{gathered} (a)=\text{対称的（①）},\\ (b)=\langle y,z\rangle\text{（⑤）},\\ (c)=\langle x,z\rangle\text{（③）} \end{gathered}}.

Reference​

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